包括但不限于：

• 加法原理、乘法原理
• 排列与组合
  • 排列的定义
    • 不可重复排列，n个里选m个
      • 当m小于n，$P^m_{n}$
      • 当m等于n，$P^n_{n}$
        • 全排列
    • 可重复的排列，n个里面有放回的取m个
      • $n^m$
  • 排列数
  • 组合的定义
  • 组合数的性质
    • $\begin{array}{c}C_{n}^{m}=\frac{P_{n}^{m}}{m!}=\frac{n(n-1) \cdots(n-m+1)}{m!} \\C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m} \\C_{n}^{m}=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^{m}\end{array}$
• 随机试验与随机事件
  • 随机试验
    • 随机试验是一个“事”
    • 随机试验的性质
      • 可重复性
      • 多结果性
      • 不确定性
  • 样本空间的定义
    • 样本点的定义
    • 样本空间是一个必然事件
  • 基本事件的定义
    • 单个样本点组成的事件
  • 随机事件的定义
    • 随机事件是样本空间的一个子集
  • 不可能事件的定义
  • 完备事件组的定义
    • 是样本空间的划分
• 事件与集合的对应关系
  • 必然事件是全集
  • 基本事件是单样本点组成的单点集合
  • 随机事件是全集的子集
  • 不可能事件是空集
  • 事件的运算
    • A包含B，则若A发生，B必然也发生
    • A并（和）B，则A、B至少有一个发生
    • A交（积）B，则A、B同时发生
    • A减B，则A发生B不发生
    • A和B互不相容（互斥）、A交（积）B是空集，则A、B不可能同时发生
    • A和B对立，则A、B不可能同时不发生，A、B不可能同时发生
      • A的对立事件的记作$\bar{A}=\Omega -A$
      • $\bar{A}A=\phi$，$\bar{\bar{A}}=A$
      • 对立的性质
        • 对立一定互斥，互斥不一定对立
        • A和B对立，则$\bar{A}$和$\bar{B}$对立
  • 事件的运算的运算率
    • 交换律
    • 结合律
    • 分配律
    • 自反律
    • 对偶律
      • 长杠变短杠，开口换方向

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1.1 随机试验与随机事件

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一、计数原理

1. 加法原理

完成一件事有 $k$ 类方式，第 $i$ 类方式有 $n_i$ 种方法，且各类方式互不重叠，则完成这件事共有：

$$\sum_{i=1}^{k} n_i$$

种方法。

要点：分类完成，类类独立，方法数相加。

2. 乘法原理

完成一件事需要依次经过 $k$ 个步骤，第 $i$ 步有 $n_i$ 种方法，则完成这件事共有：

$$\prod_{i=1}^{k} n_i$$

种方法。

要点：分步完成，步步相依，方法数相乘。

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二、排列与组合

1. 排列的定义

从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个，按照一定顺序排成一列。

（1）不可重复排列（无放回）

从 $n$ 个不同元素中选 $m$ 个排列，元素不重复。

• 当 $m < n$ 时，排列数记为 $P_n^m$：

$$P_n^m = n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1) = \frac{n!}{(n-m)!}$$

• 当 $m = n$ 时，称为全排列，记作 $P_n^n$：

$$P_n^n = n! = n(n-1)(n-2)\cdots 2 \cdot 1$$

规定 $0! = 1$。

（2）可重复排列（有放回）

从 $n$ 个不同元素中有放回地取 $m$ 个排列。

排列数为：

$$n^m$$

2. 排列数

排列数 $P_n^m$ 是从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的有序排列个数。

$$P_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$$

3. 组合的定义

从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素，不考虑顺序，称为一个组合。组合数记作 $C_n^m$ 或 $\binom{n}{m}$。

$$C_n^m = \frac{P_n^m}{m!} = \frac{n(n-1)\cdots(n-m+1)}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$$

4. 组合数的性质

(1) 对称性：

$$C_n^m = C_n^{n-m}$$

(2) 递推关系（帕斯卡恒等式）：

$$C_n^m = C_{n-1}^{m-1} + C_{n-1}^m$$

(3) 组合数与排列数的关系：

$$C_n^m = \frac{P_n^m}{m!}$$

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三、随机试验与随机事件

1. 随机试验

随机试验是一个”事”——可以在相同条件下重复进行的观察或实验。

随机试验的三个性质

2. 样本空间

样本空间 $\Omega$：随机试验所有可能结果组成的集合，是一个必然事件。

样本点 $\omega$：样本空间中的每一个元素（每一个可能的结果）。

$\Omega$ 是必然事件（全集），每次试验必定发生。

3. 基本事件

由单个样本点组成的事件，即不可再分的最小事件单元。

• 基本事件是单点集 $\{\omega\}$。

4. 随机事件

随机事件是样本空间 $\Omega$ 的一个子集。

• 事件发生 $\Leftrightarrow$ 该子集中的某个样本点在试验中出现。

5. 不可能事件

不包含任何样本点的事件，记作 $\varnothing$（空集）。

• 不可能事件在任何试验中都不会发生。

6. 完备事件组

若有限个事件 $A_1, A_2, \dots, A_n$ 满足：

• 两两互不相容：$A_i \cap A_j = \varnothing$（$i \neq j$）
• 它们的并为整个样本空间：$\bigcup_{i=1}^n A_i = \Omega$

则称 $\{A_1, A_2, \dots, A_n\}$ 为样本空间 $\Omega$ 的一个划分（完备事件组）。

每次试验完备事件组中有且仅有一个事件发生。

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四、事件与集合的对应关系

1. 事件的运算

设 $A, B$ 为事件，$\Omega$ 为样本空间。

(1) 包含： $A \subset B$

若 $A$ 发生，则 $B$ 必然也发生。

(2) 和（并）： $A \cup B$

$A$ 与 $B$ 至少有一个发生。

(3) 积（交）： $A \cap B$

$A$ 与 $B$ 同时发生。

(4) 差： $A - B = A \setminus B$

$A$ 发生而 $B$ 不发生。

(5) 互不相容（互斥）： $A \cap B = \varnothing$

$A$ 与 $B$ 不可能同时发生。

(6) 对立（互逆）：

$A$ 与 $B$ 对立 $\Leftrightarrow$ $A \cap B = \varnothing$ 且 $A \cup B = \Omega$

即：不可能同时不发生，也不可能同时发生。

$A$ 的对立事件记作 $\bar{A}$：

$$\bar{A} = \Omega - A$$

对立事件的性质：

• $\bar{A} \cap A = \varnothing$（互斥）
• $\bar{\bar{A}} = A$（自反）
• 对立一定互斥，互斥不一定对立
• 若 $A$ 与 $B$ 对立，则 $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 也对立

2. 事件运算的运算律

(1) 交换律

$$A \cup B = B \cup A, \quad A \cap B = B \cap A$$

(2) 结合律

$$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$$ $$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$$

(3) 分配律

$$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$$ $$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$$

(4) 自反律

$$\bar{\bar{A}} = A$$

(5) 对偶律（De Morgan 律）

口诀：长杠变短杠，开口换方向。

$$\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$$ $$\overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}$$

推广到 $n$ 个事件：

$$\overline{\bigcup_{i=1}^n A_i} = \bigcap_{i=1}^n \bar{A_i}$$ $$\overline{\bigcap_{i=1}^n A_i} = \bigcup_{i=1}^n \bar{A_i}$$

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总结：随机试验是概率论的研究起点，样本空间是必然事件，随机事件是样本空间的子集。事件间的运算与集合运算完全对应，而对偶律（De Morgan 律）是化简复杂事件概率计算的核心工具。排列组合是计算古典概型中事件概率的基础计数工具。