包括但不限于：

• 频率的定义
• 概率的定义
  • 给一个事件映射一个实数
• 概率的性质
  • 不可能事件的概率是0 （反之不成立）（概率为零的事件也可能发生）
  • 有限可加性
• 概率的运算公式
  • 加法
    • 二元和三元加法
  • 乘法
  • 减法
    • 包含和不包含时的减法
  • 取对立
  • 取并
  • 取交
    • 互不相容时为空集
• 集合函数的定义
• 集合函数的性质
  • 非负性
  • 规范性
  • 互斥事件可加性

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1.2 频率与概率

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一、频率

1. 频率的定义

在相同的条件下，进行了 $n$ 次重复试验，其中事件 $A$ 发生的次数 $n_A$ 称为事件 $A$ 的频数，比值

$$f_n(A) = \frac{n_A}{n}$$

称为事件 $A$ 在 $n$ 次试验中发生的频率。

频率反映了事件 $A$ 发生的频繁程度，是一个经验值、试验值。

2. 频率的基本性质

对于任意事件 $A$ 及两两互不相容的事件 $A_1, A_2, \dots, A_k$，频率满足：

• 非负性：$0 \leq f_n(A) \leq 1$
• 规范性：$f_n(\Omega) = 1$
• 有限可加性：$f_n(A_1 \cup \cdots \cup A_k) = f_n(A_1) + \cdots + f_n(A_k)$

3. 频率与概率的关系

• 频率具有随机性——每次试验的频率可能不同。
• 随着试验次数 $n$ 的增大，频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是概率。
• 因此，可以用频率估计概率：当 $n$ 很大时，$f_n(A) \approx P(A)$。

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二、概率的定义

1. 概率的直观定义

概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，取值在 $[0, 1]$ 之间。

2. 概率的统计定义

在 $n$ 次重复试验中，当试验次数 $n$ 充分大时，事件 $A$ 的频率 $f_n(A)$ 稳定在某个常数 $p$ 附近，则称 $p$ 为事件 $A$ 的概率，记作

$$P(A) = p$$

3. 概率的公理化定义

设 $E$ 是随机试验，$\Omega$ 是其样本空间。对 $E$ 的每一事件 $A$ 赋予一个实数 $P(A)$，若集合函数 $P(\cdot)$ 满足以下三条公理，则称 $P(A)$ 为事件 $A$ 的概率：

1. 非负性：对任意事件 $A$，有 $P(A) \geq 0$
2. 规范性：$P(\Omega) = 1$
3. 可列可加性：若 $A_1, A_2, \dots$ 是两两互不相容的事件，则

$$P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)$$

核心思想：概率是给每个事件映射一个实数，且满足上述三条公理。

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三、概率的基本性质

1. 非负性与规范性

$$0 \leq P(A) \leq 1, \quad P(\Omega) = 1$$

2. 不可能事件的概率

$$P(\varnothing) = 0$$

注意：概率为零的事件不一定是不可能事件！（反之不成立）

• 不可能事件的概率必为 0
• 概率为 0 的事件也有可能发生（如连续型随机变量取某个单点值的概率为 0）

3. 规范性与对立

$$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$$

4. 有限可加性

若 $A_1, A_2, \dots, A_n$ 两两互不相容，则：

$$P\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_i\right) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)$$

5. 单调性

若 $A \subset B$，则 $P(A) \leq P(B)$。

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四、概率的运算公式

1. 加法公式

（1）两个事件的加法公式

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$$

• 特别地，若 $A$ 与 $B$ 互不相容（$AB = \varnothing$），则：

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

（2）三个事件的加法公式

$$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)$$

2. 乘法公式

$$P(AB) = P(A) \cdot P(B \mid A) = P(B) \cdot P(A \mid B)$$

• 特别地，若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则：

$$P(AB) = P(A) \cdot P(B)$$

3. 减法公式

（1）一般情况

$$P(A - B) = P(A) - P(AB)$$

（2）包含关系（$B \subset A$）

当 $B \subset A$ 时：

$$P(A - B) = P(A) - P(B)$$

直观理解：若 $B$ 发生时 $A$ 必然发生，则 $A$ 发生而 $B$ 不发生的概率等于 $A$ 的概率减去 $B$ 的概率。

4. 取对立（取逆）公式

$$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$$

由此可推出：

$$P(A) = 1 - P(\bar{A})$$

5. 取并公式

对于任意 $n$ 个事件 $A_1, A_2, \dots, A_n$，一般加法公式（容斥原理）：

$$P\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_i\right) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) - \sum_{1 \le i < j \le n} P(A_i A_j) + \sum_{1 \le i < j < k \le n} P(A_i A_j A_k) - \cdots + (-1)^{n-1} P(A_1 A_2 \cdots A_n)$$

6. 取交公式

• 用乘法公式逐次分解：$P(A_1 A_2 \cdots A_n) = P(A_1)P(A_2 \mid A_1)P(A_3 \mid A_1 A_2) \cdots$
• 若事件相互独立，则 $P(A_1 A_2 \cdots A_n) = P(A_1)P(A_2) \cdots P(A_n)$
• 若事件互不相容，则交事件为不可能事件，概率为 0：

$$P(A \cap B) = 0 \quad (\text{当 } A, B \text{ 互斥})$$

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五、集合函数

1. 集合函数的定义

概率 $P$ 是一个集合函数：它将样本空间 $\Omega$ 的子集（即事件）映射到实数区间 $[0, 1]$ 上。

$$P: \mathcal{F} \to [0, 1]$$

其中 $\mathcal{F}$ 是事件域（由 $\Omega$ 的子集构成的集合族）。

2. 集合函数的性质（概率公理）

概率作为集合函数，必须满足以下三条基本性质：

这三条性质是概率公理化定义的核心，所有概率的其他性质都可以从这三条推导出来。

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六、公式速查表