1.3 古典概型与几何概型

一、古典概型

若随机试验 $E$ 满足以下两个条件，则称其为古典概型（等可能概型）：

条件	含义
有限性	样本空间 $\Omega$ 只包含有限个样本点，即 $\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n\}$
等可能性	每个样本点（基本事件）出现的可能性相等，即 $P(\{\omega_1\}) = P(\{\omega_2\}) = \dots = P(\{\omega_n\}) = \frac{1}{n}$

“概型”即概率模型的简称。古典概型是最早被研究的概率模型，因在古典赌金问题中大量使用而得名。

设事件 $A$ 包含 $k$ 个样本点，样本空间 $\Omega$ 共有 $n$ 个样本点，则事件 $A$ 的概率为：

\boxed{P(A) = \frac{k}{n} = \frac{\text{事件 } A \text{ 包含的样本点个数}}{\text{样本空间 } \Omega \text{ 中样本点的总数}}}

也可以写成：

P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{A \text{ 的有利场合数}}{\text{所有可能结果的总数}}

核心技巧：古典概型的计算本质上是计数问题，排列与组合是重要的计数工具。

例 1（掷骰子）：掷一枚均匀的六面骰子，观察朝上的点数。

例 2（抽球问题）：袋中有 5 个红球、3 个白球，从中随机抽取 2 个，求抽到的都是红球的概率。

古典概型要求样本点有限且等可能。但实际中许多随机试验的样本空间是无限的（如测量值、时间点、区域中的随机点等），古典概型失效，需要引入几何概型。

若随机试验 $E$ 的样本空间 $\Omega$ 是某个可度量的几何区域（区间、平面区域、立体区域等），且样本点落入 $\Omega$ 中任一子区域的可能性仅与该子区域的几何度量（长度、面积、体积等）成正比，而与该子区域的形状和位置无关，则称其为几何概型。

事件 $A$ 的概率定义为：

\boxed{P(A) = \frac{m(A)}{m(\Omega)}}

其中 $m(\cdot)$ 表示几何度量（长度、面积或体积）。

本质：古典概型是”数个数”求比例，几何概型是”量大小”求比例。

例 1（相遇问题）：两人约定在 $12:00$ 到 $13:00$ 之间见面，先到者等 $15$ 分钟后离开。求两人能相遇的概率。

设 $x, y$ 分别为两人到达时刻（以分钟计，从 0 到 60）。
$\Omega = \{(x, y) \mid 0 \le x \le 60, \; 0 \le y \le 60\}$ ，面积为 $60^2 = 3600$ 。
能相遇的条件为 $|x - y| \le 15$ 。
此区域是正方形中间的一个带状区域，面积为 $60^2 - 45^2 = 3600 - 2025 = 1575$ 。
$P = \frac{1575}{3600} = \frac{7}{16}$ 。

例 2（随机点落圆）：向半径为 $R$ 的圆内随机投一点，求该点到圆心的距离不超过 $r$ （ $r < R$ ）的概率。

例 3（弦长问题 / 贝特朗悖论）：在半径为 $R$ 的圆中随机取一条弦，求弦长超过 $\sqrt{3}R$ （即内接等边三角形的边长）的概率。

此问题的答案依赖于”随机取弦”的定义方式，说明几何概型中”等可能”的设定必须格外谨慎。

比较维度	古典概型	几何概型
样本空间	有限个样本点	无限（连续区域）
等可能性的体现	每个样本点等可能	度量相等的子区域等可能
概率计算	$P(A) = \frac{\text{有利样本点数}}{\text{总样本点数}}$	$P(A) = \frac{\text{有利区域的度量}}{\text{总区域的度量}}$
单个样本点概率	$> 0$ （为 $1/n$ ）	$= 0$ （但不意味着不可能）
计数工具	排列、组合	长度、面积、体积计算