一、基本定义

• 行列式记作：$$
  \det(A) \quad 或 \quad |A| $$$$
• 几何意义：表示线性变换的有向体积缩放因子

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二、按行（列）展开（拉普拉斯展开）

按第 $i$ 行展开：

$$|A| = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} A_{ij}$$

其中：

$$A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$$

• $M_{ij}$：去掉第 $i$ 行第 $j$ 列后的子式 👉 要点：
• 可按任意行或列展开
• 优先选 0 多的行/列

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三、三大基本变换（核心）

1. 行（列）交换

$$交换两行 \Rightarrow |A| \to -|A|$$

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2. 行（列）倍乘

$$某一行乘 k \Rightarrow |A| \to k|A|$$

👉 推论（提取公因子）：

$$|A| = k \cdot |A'|$$

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3. 行（列）加法

$$R_i \to R_i + k R_j \Rightarrow |A| 不变$$

👉 最重要的化简工具

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四、重要推论

1. 两行（列）相同

$$\Rightarrow |A| = 0$$

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2. 两行（列）成比例

$$\Rightarrow |A| = 0$$

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3. 某一行（列）全为 0

$$\Rightarrow |A| = 0$$

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4. 线性性（只对一行/列成立）

例如对第 $i$ 行：

$$| \cdots, a_i + b_i, \cdots | = | \cdots, a_i, \cdots | + | \cdots, b_i, \cdots |$$

⚠️ 注意：

$$|A+B| \neq |A| + |B|$$

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5. 转置不变

$$|A^T| = |A|$$

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五、乘法性质（重点）

1. 行列式乘法

$$|AB| = |A| \cdot |B|$$

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2. 幂

$$|A^n| = |A|^n$$

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3. 单位矩阵

$$|E| = 1$$

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4. 逆矩

$$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}, \quad (|A| \neq 0)$$

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六、特殊类型行列式

1. 上三角 / 下三角

$$|A| = \prod_{i=1}^{n} a_{ii}$$

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2. 对角矩阵

$$|A| = \prod_{i=1}^{n} a_{ii}$$

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七、结构技巧

1. 分块三角矩阵

$$\begin{vmatrix} A & * \ 0 & B \end{vmatrix} = |A| \cdot |B|$$

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八、计算策略

优先顺序：

1. 找 0 多的行/列展开
2. 用行变换造 0
3. 化为三角行列式
4. 提取公因子
5. 利用对称结构

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九、易错点总结

• 交换行才变号，加法不变
• 线性性只对一行/列成立
• $|A+B| \neq |A| + |B|$
• 展开符号：

$$(-1)^{i+j}$$

• 忘记提取公因子

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十、速记口诀

换行变号，倍乘倍；
加行不变，同行零；
三角对角乘，乘法可分离；
可逆取倒数。