2.10初等矩阵 · 未命名书册

定义：
- 由单位矩阵 $E$ 经过一次初等行（列）变换所得到的矩阵，称为初等矩阵
- 有下面三种类型：
  - 交换单位矩阵 $E$ $E$ 的第 $i,j$ $i, j$ 两行（列）得到初等矩阵 $E(i,j)$ $E (i, j)$
    - 交换行和列得到的是相同的初等矩阵
  - 用非零数 $k$ $k$ 乘单位矩阵 $E$ $E$ 的第 $i$ $i$ 行（列）得到初等矩阵 $E(i(k))$ $E (i (k))$
    - 用 $k$ 乘行和列得到的是相同的初等矩阵
  - 把单位矩阵 $E$ $E$ 的第 $j$ $j$ 行的 $l$ $l$ 倍加到第 $i$ $i$ 行得到初等矩阵 $E(i j(l))$ $E (ij (l))$
    - $i,j$ 行变换和 $i,j$ 列变换得到的是不同的初等矩阵
    - $i,j$ 行变换、 $j,i$ 列变换能得到相同的初等矩阵
- 初等矩阵的性质
  - 初等矩阵的行列式都不为零，初等矩阵均可逆（ $|E(i j)|=-1,|E(i(k))|=k,|E(i j(l))|=1$ ）
  - 初等矩阵的转置矩阵是同种的初等矩阵（ $E(i j)^{T}=E(i j), E(i(k))^{T}=E(i(k)), \color{brown}E(i j(l))^{T}=E(j i(l))$ ）
  - 初等矩阵的逆矩阵是同种的初等矩阵（ $E(i j)^{-1}=E(i j), \color{brown}E(i(k))^{-1}=E\left(i\left(\frac{1}{k}\right)\right), E(i j(l))^{-1}=E(i j(-l))$ ）
利用初等矩阵进行初等变换
- 设A为mxn矩阵，则
  - 对A进行一次初等行变换得到的矩阵，等于用同种类型的m阶初等矩阵左乘A
  - 对A进行一次初等列变换得到的矩阵，等于用同种类型的n阶初等矩阵右乘A