2.14矩阵的秩 · 未命名书册

矩阵的秩 — 笔记总结

一、秩的定义

子式定义

矩阵 $A$ 中非零子式的最高阶数称为 $A$ 的秩。

$r(A) = r$ $\Leftrightarrow$ 存在某个 $r$ 阶子式不为零，且所有 $r+1$ 阶子式（若存在）全为零。什么是子式呢？在一个矩阵里任取K行K列，位于行列交叉点处的 $k^2$ 个元素，按照在矩阵中的位置不变，得到的k阶行列式，

等价标准形定义

$r(A) = r$ $\Leftrightarrow$ $A$ 可经过初等变换化为：

\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

其中 $E_r$ 是 $r$ 阶单位矩阵，其余位置为零矩阵。

二、秩的基本性质

1. 取值范围

0 \leq r(A) \leq \min\{m, n\}

$r(A) = 0$ $\Leftrightarrow$ $A$ 是零矩阵
$r(A) = \min\{m, n\}$ 时称 $A$ 为行满秩或列满秩（或统称满秩）

2. 转置不变性

r(A) = r(A^T)

因为行秩 = 列秩，转置只是交换了行和列。

3. 数乘

$k \neq 0$ 时， $r(kA) = r(A)$ 。

乘以非零常数不改变各子式是否为零。

4. 可逆矩阵相乘不改变秩

若 $P, Q$ 均为可逆方阵，则：

r(PA) = r(AQ) = r(PAQ) = r(A)

这是秩最重要的性质之一——可逆矩阵相当于一系列初等变换的复合，而初等变换不改变秩。

三、秩与初等变换

核心结论：初等变换不改变矩阵的秩。

变换类型	对秩的影响	原因
交换两行（列）	不变	不改变向量组的线性关系
某行（列）乘非零常数	不变	不改变向量是否线性相关
一行（列）的倍数加到另一行（列）	不变	不改变行（列）向量组的生成空间

应用：求秩时，将矩阵通过初等变换化为阶梯形，非零行的行数即为秩。

四、秩与可逆矩阵（方阵）

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，以下命题等价：

$r(A) = n$ （满秩）
$A$ 可逆
$|A| \neq 0$
$A$ 的列向量组线性无关
$A$ 的行向量组线性无关
$A$ 的等价标准形为 $E_n$
齐次方程组 $Ax = 0$ 只有零解
对任意 $b$ ， $Ax = b$ 有唯一解

五、秩的运算法则

1. 加法

r(A + B) \leq r(A) + r(B)

$A+B$ 的列向量都是 $A$ 的列向量与 $B$ 的列向量的和，被两者共同张成，故秩不超过秩之和。

2. 乘法

r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\}

$r(AB) \leq r(A)$ （因为 $AB$ 的列是 $A$ 的列的线性组合）
$r(AB) \leq r(B)$ （因为 $AB$ 的行是 $B$ 的行的线性组合）

3. 重要特例：若 $A$ 列满秩，则 $r(AB) = r(B)$

若 $A$ 是列满秩矩阵（ $r(A) =$ 列数），则左乘 $A$ 不改变秩：

r(AB) = r(B)

同样，若 $B$ 行满秩，则右乘 $B$ 不改变秩：

r(AB) = r(A)

这是上面”可逆矩阵不改变秩”的推广：可逆矩阵既是列满秩又是行满秩。

4. 乘积为零时的秩关系

若 $AB = 0$ ，则：

r(A) + r(B) \leq n

其中 $n$ 是 $A$ 的列数（也是 $B$ 的行数）。

几何解释： $B$ 的每一列都在 $A$ 的零空间中，故 $B$ 的列空间维数 $\leq$ $A$ 的零空间维数 $= n - r(A)$ 。

六、重要秩不等式

1. 西尔维斯特（Sylvester）不等式

r(A) + r(B) - n \leq r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\}

其中 $n$ 是 $A$ 的列数（ $B$ 的行数）。左半部分给出了 $r(AB)$ 的下界。

推论：若 $n$ 阶方阵 $A$ , $B$ 满足 $AB=O$ ，则 $r(A) + r(B) \le n$

2. 弗罗贝尼乌斯（Frobenius）不等式

r(ABC) \geq r(AB) + r(BC) - r(B)

取 $B = E$ 即退化为西尔维斯特不等式。

3. 秩的三角不等式

|r(A) - r(B)| \leq r(A + B) \leq r(A) + r(B)

七、秩与线性方程组

方程组： $Ax = b$ （ $A$ 为 $m \times n$ 矩阵）

记增广矩阵为 $\widetilde{A} = (A \mid b)$ 。

条件	结论
$r(A) = r(\widetilde{A}) = n$	有唯一解
$r(A) = r(\widetilde{A}) < n$	有无穷多解，自由变量 $n - r(A)$ 个
$r(A) < r(\widetilde{A})$	无解

齐次方程组： $Ax = 0$

解空间的维数 = $n - r(A)$
$r(A) = n$ $\Leftrightarrow$ 只有零解
$r(A) < n$ $\Leftrightarrow$ 有非零解

八、分块矩阵的秩

1. 基本公式

r\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix} = r(A) + r(B)

r\begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix} \geq r(A) + r(B)

2. 分块初等变换不改变秩（重要）

分块矩阵做分块初等变换（左乘或右乘可逆分块初等矩阵），秩不变。

例如：

r\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = r\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D - CA^{-1}B \end{pmatrix} \quad (\text{当 } A \text{ 可逆时})

这可以推出：

r\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = r(A) + r(D - CA^{-1}B) \quad (\text{当 } A \text{ 可逆时})

3. 常用秩等式

$r(A) + r(B) \leq r\begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix} \leq r(A) + r(B) + r(C)$
$r\begin{pmatrix} A & B \end{pmatrix} \leq r(A) + r(B)$
$r\begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix} \leq r(A) + r(B)$