定义

• 矩阵的转置，设矩阵 $A = (a_{ij})_{m \times n}$
  • 其转置记为：$A^T = (a_{ji})_{n \times m}$
  • 有点类似于沿着y=-x对称翻转矩阵
    • 行变列，列变行
    • 第 $i$ 行第 $j$ 列 → 第 $j$ 行第 $i$ 列
• 对称矩阵就类似关于y=-x对称的矩阵。
  • 对称矩阵$A^T =A$
  • $\text { 若 } A, B \text { 为同阶对称矩阵，则 } A+B, A-B \text { 仍为对称矩阵 }$
  • $\text { 若 } A \text { 为对称矩阵，则 } k A, A^{m} \text { 仍为对称矩阵．（ } k \text { 为常数，} m \text { 为正整数）．}$
  • $\text { 若 } A, B \text { 为同阶对称矩阵，则 } A B \text { 为对称矩阵的充要条件是 } A B=B A \text { ．}$
  • $\text { 对任意 } m \times n \text { 矩阵 } A \text { ，则 } A^{T} A, A A^{T} \text { 均为对称矩阵。 }$
• 反对称矩阵主对角线上元素全为 0、关于主对角线对称的元素互为相反数$a_{ij}=−a_{ji}$，其$A^T=-A$
  • $\text { 若 } A \text { 为反对称矩阵，} k \text { 为常数，则 } k A \text { 仍为反对称矩阵．}$
  • $\text { 若 } A \text { 为反对称矩阵, } k \text { 为正整数, 则 } A^{k} \text { 为 }\left\{\begin{array}{l}\text { 对称矩阵, } k \text { 为偶数; } \\\text { 反对称矩阵, } k \text { 为奇数. }\end{array}\right.$

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基本性质

1. 转置抵消

$$(A^T)^T = A$$

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2. 加法

$$(A + B)^T = A^T + B^T$$

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3. 数乘

$$(kA)^T = k A^T$$

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4. 乘法

$$(AB)^T = B^T A^T$$

注意：相乘的矩阵顺序需反转 衍生性质：对所有方阵A和正整数k都有$(A^k)^T=(A^T)^k$

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行列式与转置

若 $A$ 为方阵：

$$|A^T| = |A|$$

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逆矩阵与转置

若 $A$ 可逆：

$$(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$$

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五、特殊矩阵

1. 对称矩阵

$$A^T = A$$

👉 特点：

• 关于主对角线对称
• $a_{ij} = a_{ji}$

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2. 反对称（斜对称）矩阵

$$A^T = -A$$

👉 推论：

$$a_{ii} = 0$$

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3. 正交矩阵（重要）

$$A^T A = E$$

等价于：

$$A^{-1} = A^T$$

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内积与转置（常考）

向量 $x, y$：

$$x^T y = \text{内积}$$

👉 性质：

$$(x^T y)^T = y^T x$$

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七、与二次型的关系（进阶）

$$x^T A x$$

👉 若 $A = A^T$（对称）：

• 表达更简洁
• 常用于最优化、物理问题

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常见变形技巧（计算核心）

1. 利用转置改变乘法顺序

$$(ABC)^T = C^T B^T A^T$$

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2. 构造对称形式

例如：

$$A + A^T$$

这个整体一定是对称矩阵。对称矩阵就类似关于y=-x对称的矩阵。

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3. 构造反对称

$$A - A^T$$

一定是反对称矩阵。反对称矩阵主对角线上元素全为 0、关于主对角线对称的元素互为相反数$a_{ij}=−a_{ji}$

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易错点总结

⚠️ 1. 乘法顺序写反

• 正确：

$$(AB)^T = B^T A^T$$

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⚠️ 2. 忘记维度变化

• $m \times n \rightarrow n \times m$

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⚠️ 3. 把转置当逆

• 一般：

$$A^T \neq A^{-1}$$

只有正交矩阵成立

⚠️ 4. 向量方向错误

• 行向量 ↔ 列向量

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十、速记口诀

转置两次回原矩；
加法数乘都不变；
乘法顺序要倒转；
对称等于自身转。

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