初等行（列）变换

矩阵的以下三种变换，称为矩阵的初等行（列）变换

1. 交换矩阵的两行（列）
2. 用数k≠0乘矩阵某一行（列）的所有元素
3. 把矩阵某一行（列）所有元素的l倍加到另一行（列）对应的元素上去 初等变换是一个变化过程，变化前后用箭头不用等号连接

标准形矩阵

定义：元素只有两个数1和0组成，且矩阵的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0的矩阵。 定理：

• 任何矩阵A都可以经过初等变换（行变换和列变换）化为标准形矩阵并称此标准形矩阵为A的标准形。
• 标准型中的“1”的个数等于矩阵的秩。

（行）阶梯形矩阵

满足以下两个条件的矩阵，称为 （行）阶梯形 矩阵。

1. 如果矩阵存在零行，则零行都在非零行的下面；
2. 任一非零行从左到右第一个非零元素（称为首非零元）所在的列中，在这个元素左下方的元素（若还有）全为零。 也就是说每数一行都得退一格，让出一个0来

行简化阶梯形矩阵

特别地，若行阶梯形矩阵的首非零元都是1，且首非零元所在列上的其他元素都为零，则称此矩阵为行简化阶梯形矩阵

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定理：

• 任何矩阵都可经过若干次初等行变换化为行阶梯形矩阵
• 任何矩阵都可经过若干次初等行变换化为行简化阶梯形矩阵
• 只用行变换，$A$的阶梯形是不唯一的，$A$的行简化阶梯形是**唯一的*
• 99%的线性代数考题，要求的都是行阶梯形或行简化阶梯形，全程只能用行变换。