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3.2向量的线性组合与线性表示

#数学#线性代数#向量

向量的线性组合与线性表示

1. 线性组合

1.1 定义

给定 mm 个 nn 维向量 α1,α2,…,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m 和一组实数 k1,k2,…,kmk_1, k_2, \dots, k_m，称表达式

k1α1+k2α2+⋯+kmαmk_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + k_2 \boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + k_m \boldsymbol{\alpha}_m

为这组向量的线性组合（linear combination），kik_i 称为组合系数。

1.2 线性组合的结果

线性组合的结果仍是一个 nn 维向量。具体地，设

αi=(ai1,ai2,…,ain),i=1,2,…,m\boldsymbol{\alpha}_i = (a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in}), \quad i = 1, 2, \dots, m

则线性组合的第 jj 个分量为：

∑i=1mkiaij\sum_{i=1}^{m} k_i a_{ij}

1.3 常见特例

组合系数结果说明
所有 ki=0k_i = 00\mathbf{0}零向量
某个 ki=1k_i = 1，其余为 00αi\boldsymbol{\alpha}_i向量本身
k1=1,k2=1k_1 = 1, k_2 = 1，其余为 00α1+α2\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2向量加法
k=tk = t，其余为 00tαit \boldsymbol{\alpha}_i数乘

2. 线性表示

2.1 定义

对于向量 β\boldsymbol{\beta} 和向量组 α1,α2,…,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m，若存在一组实数 k1,k2,…,kmk_1, k_2, \dots, k_m，使得

β=k1α1+k2α2+⋯+kmαm\boldsymbol{\beta} = k_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + k_2 \boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + k_m \boldsymbol{\alpha}_m

则称 β\boldsymbol{\beta} 可由向量组 α1,α2,…,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m 线性表示（或线性表出）。

  • β\boldsymbol{\beta} 称为表示结果。
  • kik_i 称为表示系数。
  • 若不存在这样的系数，则称 β\boldsymbol{\beta} 不能被该向量组线性表示。

2.2 线性表示的等价条件

将向量组按列排成矩阵，设

A=(α1α2⋯αm)A = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha}_1 & \boldsymbol{\alpha}_2 & \cdots & \boldsymbol{\alpha}_m \end{pmatrix}

则 β\boldsymbol{\beta} 可由该向量组线性表示 当且仅当 线性方程组 Ax=βA \mathbf{x} = \boldsymbol{\beta} 有解。

其中 x=(x1,x2,…,xm)⊤\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_m)^\top 就是表示系数向量。

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2.3 线性表示与秩的关系

设向量组的秩为 rr，则：

  • 若 r=rank⁡(A)=rank⁡(A∣β)r = \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A \mid \boldsymbol{\beta})，则 β\boldsymbol{\beta} 可被线性表示。
  • 若 rank⁡(A)<rank⁡(A∣β)\operatorname{rank}(A) < \operatorname{rank}(A \mid \boldsymbol{\beta})，则 β\boldsymbol{\beta} 不能被线性表示。

简记：表示系数有解   ⟺  \iff 增广矩阵的秩与原系数矩阵的秩相等。

3. 线性表示的存在性与唯一性

3.1 存在性条件

向量 β\boldsymbol{\beta} 可由向量组 α1,…,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m 线性表示   ⟺  \iff

rank⁡(α1,…,αm)=rank⁡(α1,…,αm,β)\operatorname{rank}(\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m) = \operatorname{rank}(\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m, \boldsymbol{\beta})

3.2 唯一性条件

若 β\boldsymbol{\beta} 可由向量组线性表示，表示系数唯一   ⟺  \iff 向量组 α1,…,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m 线性无关。

若向量组线性相关，则表示系数有无穷多组（只要存在一组解，则对应的齐次方程组有非零解，可叠加）。

3.3 几何直观

维度向量组情况表示是否唯一几何解释
R2\mathbb{R}^2两个不共线的向量唯一平面任何向量可用两个基向量唯一表示
R2\mathbb{R}^2三个或以上向量不唯一存在冗余，表示为非唯一
R3\mathbb{R}^3三个不共面的向量唯一空间任何向量可用三个基向量唯一表示
R3\mathbb{R}^3两个不共线的向量唯一或不存在只能表示某个平面内的向量

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4. 线性相关与线性表示的关联

4.1 线性相关的等价定义

向量组 α1,α2,…,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m 线性相关   ⟺  \iff 至少存在其中一个向量可由其余 m−1m-1 个向量线性表示。

注意：这个说法默认 m≥2m \geq 2。且该向量不能是零向量（零向量可由任意向量组线性表示，但零向量出现在向量组中会导致线性相关）。

4.2 与线性表示的关系

  • 若向量组线性无关，则其中任一向量都不能由其余向量线性表示。
  • 若向量组线性相关，则至少有一个向量可由其余向量线性表示（但不一定是每一个）。
  • 零向量可由任意向量组线性表示（取所有系数为 00 即可）。

4.3 重要定理

定理：设向量组 α1,…,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m 线性无关，而 α1,…,αm,β\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m, \boldsymbol{\beta} 线性相关，则 β\boldsymbol{\beta} 可由 α1,…,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m 唯一线性表示。

5. 向量组之间的线性表示

5.1 定义

设有两个向量组：

(I):α1,α2,…,αm(I): \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m (II):β1,β2,…,βs(II): \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \dots, \boldsymbol{\beta}_s

若 (II) 中的每一个向量都可由 (I) 线性表示，则称向量组 (II) 可由向量组 (I) 线性表示。

5.2 传递性

若向量组 AA 可由 BB 线性表示，且 BB 可由 CC 线性表示，则 AA 可由 CC 线性表示。

5.3 与秩的关系

  • 若向量组 AA 可由向量组 BB 线性表示，则 rank⁡(A)≤rank⁡(B)\operatorname{rank}(A) \leq \operatorname{rank}(B)。
  • 若两个向量组可以互相线性表示，则称它们等价，且秩相等。

6. 极大线性无关组与线性表示

6.1 定义

向量组的一个部分组满足：

  1. 该部分组线性无关；
  2. 向量组中任意向量都可由该部分组线性表示。

则称该部分组为向量组的极大线性无关组（maximal linearly independent subset）。

6.2 性质

  • 向量组的秩等于极大无关组中向量的个数。
  • 向量组中每个向量都可唯一地由极大无关组线性表示。
  • 极大无关组不唯一，但所含向量个数相同（等于秩）。

6.3 求极大无关组的方法

将向量按列排成矩阵，做初等行变换化为行最简形（RREF），主元列对应的原向量即为一个极大无关组。

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7. 线性方程组与线性表示的联系

7.1 齐次方程组

齐次线性方程组 Ax=0A \mathbf{x} = \mathbf{0} 的解向量：

  • 解的线性组合仍是解。
  • 基础解系是解空间的一个极大无关组，所有解都可由基础解系线性表示。

7.2 非齐次方程组

非齐次线性方程组 Ax=bA \mathbf{x} = \mathbf{b}：

  • 有解   ⟺  \iff b\mathbf{b} 可由 AA 的列向量组线性表示。
  • 解的结构：Ax=bA \mathbf{x} = \mathbf{b} 的通解 = 特解 + Ax=0A \mathbf{x} = \mathbf{0} 的通解。 %%

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8. 线性表示的矩阵形式

8.1 列向量表示

设 α1,…,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m 为列向量，β\boldsymbol{\beta} 为列向量，则

β=k1α1+⋯+kmαm\boldsymbol{\beta} = k_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + \cdots + k_m \boldsymbol{\alpha}_m

等价于矩阵乘法：

β=Ak,A=(α1⋯αm),k=(k1⋮km)\boldsymbol{\beta} = A \mathbf{k}, \quad A = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha}_1 & \cdots & \boldsymbol{\alpha}_m \end{pmatrix},\quad \mathbf{k} = \begin{pmatrix} k_1 \\ \vdots \\ k_m \end{pmatrix}

8.2 行向量表示

若用行向量表示，则需要将系数矩阵转置：

β⊤=k⊤A⊤\boldsymbol{\beta}^\top = \mathbf{k}^\top A^\top

8.3 矩阵乘法的列视角

矩阵乘法 ABAB 的结果的每一列，都是 AA 的列向量的线性组合，组合系数由 BB 的对应列给出。

例如：

AB=A(b1b2⋯bp)=(Ab1Ab2⋯Abp)AB = A \begin{pmatrix} \mathbf{b}_1 & \mathbf{b}_2 & \cdots & \mathbf{b}_p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A \mathbf{b}_1 & A \mathbf{b}_2 & \cdots & A \mathbf{b}_p \end{pmatrix}

其中 AbjA \mathbf{b}_j 是 AA 的列向量以 bj\mathbf{b}_j 的分量为系数的线性组合。

9. 典型例题

例 1：判断 β=(4,5,6)\boldsymbol{\beta} = (4, 5, 6) 能否由向量组 α1=(1,2,3)\boldsymbol{\alpha}_1 = (1, 2, 3)，α2=(2,3,4)\boldsymbol{\alpha}_2 = (2, 3, 4) 线性表示。

解：设 β=x1α1+x2α2\boldsymbol{\beta} = x_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + x_2 \boldsymbol{\alpha}_2，得到方程组：

{x1+2x2=42x1+3x2=53x1+4x2=6\begin{cases} x_1 + 2x_2 = 4 \\ 2x_1 + 3x_2 = 5 \\ 3x_1 + 4x_2 = 6 \end{cases}

写出增广矩阵：

(124235346)→行变换(1240−1−3000)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 4 & 6 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

秩为 22，系数矩阵和增广矩阵秩相等，方程组有唯一解 x1=−2,x2=3x_1 = -2, x_2 = 3，因此可被线性表示：

β=−2α1+3α2\boldsymbol{\beta} = -2 \boldsymbol{\alpha}_1 + 3 \boldsymbol{\alpha}_2

例 2：已知 α1=(1,1,1)\boldsymbol{\alpha}_1 = (1, 1, 1)，α2=(1,2,3)\boldsymbol{\alpha}_2 = (1, 2, 3)，α3=(2,3,4)\boldsymbol{\alpha}_3 = (2, 3, 4)，判断 α3\boldsymbol{\alpha}_3 能否由 α1,α2\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2 线性表示。

解：设 α3=x1α1+x2α2\boldsymbol{\alpha}_3 = x_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + x_2 \boldsymbol{\alpha}_2：

{x1+x2=2x1+2x2=3x1+3x2=4\begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 + 2x_2 = 3 \\ x_1 + 3x_2 = 4 \end{cases}

前两个方程解得 x1=1,x2=1x_1 = 1, x_2 = 1，代入第三式 1+3=41 + 3 = 4 成立，因此 α3=α1+α2\boldsymbol{\alpha}_3 = \boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2，可被线性表示。

检查线性相关性：α1,α2\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2 线性无关（不成比例），α3\boldsymbol{\alpha}_3 可由它们线性表示且表示唯一。

例 3：判断向量组 A:α1=(1,0,1),α2=(2,1,0)A: \boldsymbol{\alpha}_1 = (1, 0, 1), \boldsymbol{\alpha}_2 = (2, 1, 0) 与向量组 B:β1=(1,1,1),β2=(3,2,1)B: \boldsymbol{\beta}_1 = (1, 1, 1), \boldsymbol{\beta}_2 = (3, 2, 1) 是否等价（能否互相线性表示）。

解： 先判断 BB 能否由 AA 表示：

Ax=β1⇒(120110)(x1x2)=(111)A \mathbf{x} = \boldsymbol{\beta}_1 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

第一式 x1+2x2=1x_1 + 2x_2 = 1，第二式 x2=1x_2 = 1，得 x1=−1x_1 = -1，代入第三式 −1+0=−1≠1-1 + 0 = -1 \neq 1，无解。因此 β1\boldsymbol{\beta}_1 不能被 AA 表示，两组不等价。

（若继续判断 AA 能否由 BB 表示，可类似计算。）

例 4：已知向量组 α1,α2,α3\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3 线性无关，证明 α1,α1+α2,α1+α2+α3\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3 也线性无关。

证：设存在 k1,k2,k3k_1, k_2, k_3 使得

k1α1+k2(α1+α2)+k3(α1+α2+α3)=0k_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + k_2 (\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2) + k_3 (\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3) = \mathbf{0}

整理得：

(k1+k2+k3)α1+(k2+k3)α2+k3α3=0(k_1 + k_2 + k_3) \boldsymbol{\alpha}_1 + (k_2 + k_3) \boldsymbol{\alpha}_2 + k_3 \boldsymbol{\alpha}_3 = \mathbf{0}

因为 α1,α2,α3\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3 线性无关，所以：

{k1+k2+k3=0k2+k3=0k3=0\begin{cases} k_1 + k_2 + k_3 = 0 \\ k_2 + k_3 = 0 \\ k_3 = 0 \end{cases}

解得 k1=k2=k3=0k_1 = k_2 = k_3 = 0，因此新向量组线性无关。

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10. 常见易错点与注意事项

  1. 线性表示与线性组合的区别：线性组合是一个表达式，线性表示是存在性命题（某向量能否写为某组合）。

  2. 零向量的特殊地位：

    • 零向量可由任何向量组线性表示（全取系数 00）。
    • 包含零向量的向量组必线性相关。
    • 零向量不能表示为任何线性无关组的非平凡组合。

  3. 表示系数的存在性判断：必须用秩判断，不能仅凭向量的个数判断。例如 mm 个 nn 维向量，当 m>nm > n 时必线性相关，但某个特定向量可能仍不能被表示。

  4. 唯一性条件：只有向量组线性无关时，表示系数才唯一。做题时一定要先判断向量组的线性相关性。

  5. 矩阵乘法的列视角：ABAB 的第 jj 列是 AA 的列向量的线性组合，组合系数是 BB 的第 jj 列。这是理解线性表示的重要工具。

  6. 初等行变换不改变列向量组的线性关系：即若 β=∑kiαi\boldsymbol{\beta} = \sum k_i \boldsymbol{\alpha}_i，则经行变换后对应关系保持不变。这是用行最简形求极大无关组和表示系数的理论基础。

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