3.3向量组的线性相关性

向量组的线性相关性

1. 线性相关与线性无关的定义

1.1 定义

给定 $n$ 维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m$ （ $m \geq 1$ ），若存在一组不全为零的实数 $k_1, k_2, \dots, k_m$ ，使得

k_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + k_2 \boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + k_m \boldsymbol{\alpha}_m = \mathbf{0}

则称该向量组线性相关（linearly dependent）。

反之，若只有当 $k_1 = k_2 = \cdots = k_m = 0$ 时上式才成立，则称该向量组线性无关（linearly independent）。

1.2 等价表述

向量组线性相关 $\iff$ 存在某个向量可由其余向量线性表示（当 $m \geq 2$ 时）。
向量组线性无关 $\iff$ 任何一个向量都不能由其余向量线性表示。
单个向量 $\boldsymbol{\alpha}$ ：线性相关 $\iff$ $\boldsymbol{\alpha} = \mathbf{0}$ ；线性无关 $\iff$ $\boldsymbol{\alpha} \neq \mathbf{0}$ 。

1.3 几何直观

空间	情况	几何意义
$\mathbb{R}^2$	两向量线性相关	共线（成比例）
$\mathbb{R}^2$	两向量线性无关	不共线
$\mathbb{R}^3$	三向量线性相关	共面（一个可由另两个表示）
$\mathbb{R}^3$	三向量线性无关	不共面（可张成整个空间）

2. 线性相关性的判别方法

2.1 定义法（直接验证齐次方程组）

解齐次方程组

x_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + x_2 \boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + x_m \boldsymbol{\alpha}_m = \mathbf{0}

若有非零解 $\Rightarrow$ 线性相关。
若只有零解 $\Rightarrow$ 线性无关。

2.2 秩判别法（最常用）

将向量按列排成矩阵 $A = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha}_1 & \boldsymbol{\alpha}_2 & \cdots & \boldsymbol{\alpha}_m \end{pmatrix}$ ，则：

$\operatorname{rank}(A) < m$ $\iff$ 线性相关。
$\operatorname{rank}(A) = m$ $\iff$ 线性无关。

重要推论：

若 $m > n$ （向量个数大于维数），则必线性相关。
若 $m \leq n$ ，可能相关也可能无关，需进一步判断。

2.3 行列式判别法（仅当 $m = n$ ）

当向量组中向量个数等于维数时，构造方阵：

A = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha}_1 & \boldsymbol{\alpha}_2 & \cdots & \boldsymbol{\alpha}_n \end{pmatrix}

$\det(A) = 0$ $\iff$ 线性相关。
$\det(A) \neq 0$ $\iff$ 线性无关。

2.4 线性表示判别法

若向量组 $A$ 可由向量组 $B$ 线性表示，且 $A$ 中向量个数 $>$ $B$ 中向量个数，则 $A$ 必线性相关。
若向量组 $A$ 线性无关，且可由向量组 $B$ 线性表示，则 $A$ 中向量个数 $\leq$ $B$ 中向量个数。

2.5 利用已知结论快速判断

包含零向量 $\Rightarrow$ 线性相关。
存在两个向量成比例 $\Rightarrow$ 线性相关。
部分相关 $\Rightarrow$ 整体相关（添加向量不改变相关性）。
整体无关 $\Rightarrow$ 部分无关（去掉向量不改变无关性）。

3. 接长向量与缩短向量（延伸组与缩短组）

3.1 定义

接长向量（延伸）：在向量的末尾（或相同位置）添加若干个分量，得到维数更高的向量。
缩短向量（缩短）：去掉向量的若干个分量（通常去掉末尾相同位置的分量），得到维数更低的向量。

3.2 核心定理

设原向量组为 $A = \{\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m\}$ ，延伸组为 $\tilde{A} = \{\tilde{\boldsymbol{\alpha}}_1, \dots, \tilde{\boldsymbol{\alpha}}_m\}$ （每个向量添加相同位置的分量）。

定理 1（延伸组）：

A \text{ 线性无关 } \;\Longrightarrow\; \tilde{A} \text{ 线性无关}

即：无关组的延伸组必无关。

定理 2（缩短组）：

\tilde{A} \text{ 线性相关 } \;\Longrightarrow\; A \text{ 线性相关}

即：延伸组相关则原组必相关（上述定理的逆否命题）。

定理 3（缩短组另一形式）：

A \text{ 线性相关 } \;\Longrightarrow\; A \text{ 的缩短组线性相关}

即：相关组的缩短组必相关。

定理 4（延伸组另一形式）：

\text{缩短组线性无关 } \;\Longrightarrow\; \text{原组线性无关}

即：缩短组无关则原组必无关（定理 3 的逆否命题）。

注意：

延伸组无关 $\Rightarrow$ 原组无关？不一定（反例见下）。

缩短组相关 $\Rightarrow$ 原组相关？也不一定（反例见下）。只有单方向成立。

3.3 反例说明

反例 1（原组相关，但延伸组可无关）：

A:\; \boldsymbol{\alpha}_1 = (1,0),\ \boldsymbol{\alpha}_2 = (2,0) \quad \text{相关}

延伸为：

\tilde{A}:\; \tilde{\boldsymbol{\alpha}}_1 = (1,0,1),\ \tilde{\boldsymbol{\alpha}}_2 = (2,0,0)

易验证 $\tilde{A}$ 线性无关（ $1\cdot\tilde{\boldsymbol{\alpha}}_1 + (-0.5)\cdot\tilde{\boldsymbol{\alpha}}_2 = (0,0,1) \neq \mathbf{0}$ ）。

反例 2（缩短组相关，但原组可无关）：

\tilde{A}:\; \tilde{\boldsymbol{\alpha}}_1 = (1,0,0),\ \tilde{\boldsymbol{\alpha}}_2 = (0,1,0),\ \tilde{\boldsymbol{\alpha}}_3 = (0,0,1) \quad \text{无关}

缩短（去掉最后一维）：

A:\; \boldsymbol{\alpha}_1 = (1,0),\ \boldsymbol{\alpha}_2 = (0,1),\ \boldsymbol{\alpha}_3 = (0,0) \quad \text{相关（含零向量）}

3.4 应用技巧

证明无关：可考虑将向量组缩短（去掉一些分量），若缩短组无关，则原组无关。
证明相关：可考虑将向量组接长（增加分量），若延伸组相关，则原组相关；或直接利用原组相关推出其缩短组相关。

4. 向量组线性相关性的重要性质与定理

4.1 基本性质

包含零向量的向量组必线性相关。
含两个成比例向量的向量组必线性相关。
部分相关 ⇒ 整体相关：若向量组的一个部分组线性相关，则整个向量组线性相关。
整体无关 ⇒ 部分无关：若向量组线性无关，则其任意部分组也线性无关。
无关组的延伸组仍无关。
相关组的缩短组仍相关。

4.2 与线性表示的关系

向量组 $A$ 线性相关（ $m \geq 2$ ） $\iff$ 存在 $A$ 中某个向量可由其余向量线性表示。
若 $A$ 线性无关，且 $A \cup \{\boldsymbol{\beta}\}$ 线性相关，则 $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $A$ 唯一线性表示。
若 $A$ 可由 $B$ 线性表示，且 $A$ 线性无关，则 $|A| \leq |B|$ 。

4.3 与秩的关系

向量组的秩 = 极大线性无关组所含向量个数。
线性相关 $\iff$ $\operatorname{rank} < \text{向量个数}$ 。
线性无关 $\iff$ $\operatorname{rank} = \text{向量个数}$ 。

4.4 与齐次线性方程组解的关系

设 $A = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha}_1 & \cdots & \boldsymbol{\alpha}_m \end{pmatrix}$ ，则：

列向量组线性相关 $\iff$ $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 有非零解。
列向量组线性无关 $\iff$ $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 只有零解。

4.5 特殊向量组的线性相关性

标准单位坐标向量组 $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n$ ：线性无关。
数量向量组：如 $(1,2,3),\ (2,4,6)$ 成比例，线性相关。
范德蒙德向量组：不同基点的范德蒙德向量组线性无关。

5. 典型例题

例 1：判断 $\boldsymbol{\alpha}_1 = (1, 2, 3)$ ， $\boldsymbol{\alpha}_2 = (2, 4, 6)$ ， $\boldsymbol{\alpha}_3 = (3, 5, 7)$ 是否线性相关。

解： $\boldsymbol{\alpha}_2 = 2\boldsymbol{\alpha}_1$ ，成比例，故线性相关。

例 2：5 个 4 维向量是否可能线性无关？

解：不可能。个数 $5 > 4$ （维数），必线性相关。

例 3：已知 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关，证明 $\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2$ ， $\boldsymbol{\beta}_2 = \boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3$ ， $\boldsymbol{\beta}_3 = \boldsymbol{\alpha}_3 + \boldsymbol{\alpha}_1$ 也线性无关。

证：设 $k_1\boldsymbol{\beta}_1 + k_2\boldsymbol{\beta}_2 + k_3\boldsymbol{\beta}_3 = \mathbf{0}$ ，即

k_1(\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2) + k_2(\boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3) + k_3(\boldsymbol{\alpha}_3 + \boldsymbol{\alpha}_1) = \mathbf{0}

整理得：

(k_1 + k_3)\boldsymbol{\alpha}_1 + (k_1 + k_2)\boldsymbol{\alpha}_2 + (k_2 + k_3)\boldsymbol{\alpha}_3 = \mathbf{0}

由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关得：

\begin{cases} k_1 + k_3 = 0 \\ k_1 + k_2 = 0 \\ k_2 + k_3 = 0 \end{cases}

解得 $k_1 = k_2 = k_3 = 0$ ，故 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 线性无关。

例 4（利用缩短组）：证明 $\boldsymbol{\alpha}_1 = (1, 2, 3, 4)$ ， $\boldsymbol{\alpha}_2 = (2, 3, 4, 5)$ 线性无关。

证：去掉后两个分量得缩短组 $\boldsymbol{\alpha}_1' = (1, 2)$ ， $\boldsymbol{\alpha}_2' = (2, 3)$ 。它们不成比例，线性无关。由“缩短组无关 $\Rightarrow$ 原组无关”知原组线性无关。

例 5：设 $A$ 线性相关，证明对任意 $\boldsymbol{\beta}$ ， $A \cup \{\boldsymbol{\beta}\}$ 也线性相关。

证：由 $A$ 线性相关，存在不全为零的 $k_1, \dots, k_m$ 使 $\sum k_i \boldsymbol{\alpha}_i = \mathbf{0}$ 。令 $k_{m+1} = 0$ ，则 $\sum_{i=1}^{m+1} k_i \boldsymbol{\alpha}_i = \mathbf{0}$ 且系数不全为零，故新向量组线性相关。（此为“部分相关 $\Rightarrow$ 整体相关”的直接推论。）

6. 常见易错点

线性相关 ≠ 存在零向量：三个二维向量必相关，但可全非零。
线性无关 ≠ 两两正交：无关只需不在同一低维子空间中，不要求正交。
个数 > 维数必相关，但个数 ≤ 维数不一定无关。
延伸/缩短组的方向性：只能单向使用——缩短组无关 $\Rightarrow$ 原组无关；原组相关 $\Rightarrow$ 缩短组相关。反方向不成立。
向量组等价 ≠ 秩相等：秩相等是必要条件，非充分（还需可互相线性表示）。
向量的排列顺序不影响线性相关性。

7. 补充：线性相关性与张成空间（span）

向量组的张成空间 $\operatorname{span}\{\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m\}$ 是所有线性组合的集合。
线性相关 $\iff$ 张成空间的维数 $<$ 向量个数。
线性无关 $\iff$ 向量组是张成空间的一组基（维数 = 向量个数）。