3.4向量组的等价 · 未命名书册

向量组的等价

1. 定义

1.1 两个向量组之间的线性表示

设有两个 $n$ 维向量组：

(I): \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m

(II): \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \dots, \boldsymbol{\beta}_s

若 (II) 中的每一个向量都可由 (I) 线性表示，则称向量组 (II) 可由向量组 (I) 线性表示。

1.2 向量组等价的定义

若向量组 (I) 与向量组 (II) 可以互相线性表示，即：

(II) 可由 (I) 线性表示；
(I) 也可由 (II) 线性表示。

则称这两个向量组等价（equivalent）。

记作：

\{\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m\} \cong \{\boldsymbol{\beta}_1, \dots, \boldsymbol{\beta}_s\}

1.3 等价的核心含义

两个向量组等价 $\iff$ 它们的张成空间相同（span 相等），即：

\operatorname{span}\{\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m\} = \operatorname{span}\{\boldsymbol{\beta}_1, \dots, \boldsymbol{\beta}_s\}

直观理解：两个向量组虽然可能由不同的向量构成，但它们能生成的”空间范围”完全一样。

2. 等价的性质

2.1 等价关系（三条公理）

向量组的等价是一种等价关系（equivalence relation），即满足：

性质	表述	说明
自反性	任何向量组与自身等价	显然成立
对称性	若 $A$ 与 $B$ 等价，则 $B$ 与 $A$ 等价	由定义直接得到
传递性	若 $A$ 与 $B$ 等价，且 $B$ 与 $C$ 等价，则 $A$ 与 $C$ 等价	线性表示具有传递性

2.2 与秩的关系

定理 1（必要条件）：若两个向量组等价，则它们的秩相等。

A \cong B \;\Longrightarrow\; \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(B)

定理 2（非充分条件）：秩相等不能推出等价。反例：

$A = \{(1,0), (2,0)\}$ ，秩为 $1$
$B = \{(0,1), (0,3)\}$ ，秩为 $1$ 但 $A$ 中的向量不能表示 $B$ 中的向量（方向完全不同），因此不等价。

定理 3（充要条件）：两个向量组等价 $\iff$ 它们的秩相等且它们可以互相线性表示。

注意：秩相等 + 一个方向能表示 $\Rightarrow$ 另一个方向自动成立？不能！必须两个方向都验证。

2.3 与极大线性无关组的关系

向量组与其极大线性无关组等价。
同一向量组的不同极大无关组之间互相等价。
两个向量组等价 $\iff$ 它们的极大无关组等价 $\iff$ 它们的极大无关组的秩相等且可互相表示。

2.4 与张成空间的关系

A \cong B \;\iff\; \operatorname{span}(A) = \operatorname{span}(B)

因此：

等价向量组张成同一子空间。
实际上： $\operatorname{span}(A) = \operatorname{span}(B)$ 意味着每个向量都在对方的张成空间中，即互相可表示，因此等价。）

准确地说： $\operatorname{span}(A) = \operatorname{span}(B)$ 当且仅当 $A$ 与 $B$ 等价。两者是充要条件。

3. 向量组等价的判别方法

3.1 一般步骤

计算 $\operatorname{rank}(A)$ 和 $\operatorname{rank}(B)$ 。
若秩不相等 $\Rightarrow$ 不等价。
若秩相等，再判断 (I) 能否由 (II) 线性表示（或反之）。
- 将 (II) 的向量按列排成矩阵 $B$ 。
- 对每个 $\boldsymbol{\alpha}_i$ ，解线性方程组 $B \mathbf{x} = \boldsymbol{\alpha}_i$ ，若有解则有表示系数。
- 若 (I) 中所有向量都能由 (II) 表示，且秩相等，则等价（由对称性可推出另一个方向也能表示）。

3.2 矩阵行最简形方法

将两个向量组按列拼成矩阵，做初等行变换化为行最简形（RREF）。若两个矩阵的行最简形相同（不考虑行顺序），则对应的列向量组等价。

注意：这里要小心处理——行变换不改变列向量之间的线性关系，但两个不同矩阵化为相同 RREF 是判断等价的充分条件吗？实际上更常用的方法是：将两个向量组拼成一个大矩阵，通过行变换观察列向量组之间的关系。

3.3 利用极大无关组

分别求出 $A$ 和 $B$ 的一个极大线性无关组。
若两个极大无关组等价，则原向量组等价。
由于极大无关组线性无关，判断两个极大无关组等价只需验证：每个极大无关组中的向量可由另一个极大无关组线性表示（若秩相等且可表示，则等价）。

4. 向量组等价与矩阵等价的关系

4.1 两种等价概念的区别

概念	向量组等价	矩阵等价
对象	向量组（无序集合）	矩阵（有固定形状）
定义	互相线性表示	可经初等变换互化
条件	$\operatorname{rank}$ 相等且互相表示	只需 $\operatorname{rank}$ 相等
不变量	张成空间	秩

4.2 联系

设 $A_{m \times n}$ 和 $B_{m \times n}$ 是两个同型矩阵，若 $A$ 与 $B$ 矩阵等价（即存在可逆阵 $P, Q$ 使得 $PAQ = B$ ），则：

$A$ 的列向量组与 $B$ 的列向量组不一定等价。
$A$ 的行向量组与 $B$ 的行向量组不一定等价。

但反过来：若两个向量组等价，则按列排成的矩阵不一定矩阵等价（因为矩阵等价要求同型且秩相等，但向量组等价还要求维数相同）。实际上，若两个同维向量组等价且个数相同，按列排成的矩阵等价吗？不一定，因为矩阵等价允许左乘可逆行变换，而向量组等价只涉及列空间的相等。

简单记忆：向量组等价是列空间相等；矩阵等价是相抵（秩相等）。两者是不同的概念。

5. 向量组等价的充要条件总结

设 $A = \{\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m\}$ ， $B = \{\boldsymbol{\beta}_1, \dots, \boldsymbol{\beta}_s\}$ ，均为 $n$ 维向量组，则以下条件等价：

$A$ 与 $B$ 等价（互相线性表示）。
$\operatorname{span}(A) = \operatorname{span}(B)$ 。
$\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(B) = \operatorname{rank}(A \cup B)$ ，且 $A$ 可由 $B$ 表示（或 $B$ 可由 $A$ 表示）。
$A$ 的极大无关组与 $B$ 的极大无关组等价。
对任意向量 $\boldsymbol{\gamma}$ ， $\boldsymbol{\gamma}$ 可由 $A$ 线性表示 $\iff$ $\boldsymbol{\gamma}$ 可由 $B$ 线性表示（即两个向量组表示的向量集合相同）。

6. 典型例题

例 1：判断向量组 $A = \{(1, 1, 1), (2, 3, 4)\}$ 与 $B = \{(0, 1, 2), (1, 2, 3)\}$ 是否等价。

解：先判断 $B$ 能否由 $A$ 表示。

设 $\boldsymbol{\beta}_1 = x_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + x_2 \boldsymbol{\alpha}_2$ ：

\begin{cases} x_1 + 2x_2 = 0 \\ x_1 + 3x_2 = 1 \\ x_1 + 4x_2 = 2 \end{cases}

前两式相减得 $x_2 = 1$ ，代入第一式得 $x_1 = -2$ ，代入第三式： $-2 + 4 = 2$ 成立。故 $\boldsymbol{\beta}_1 = -2\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2$ 。

设 $\boldsymbol{\beta}_2 = x_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + x_2 \boldsymbol{\alpha}_2$ ：

\begin{cases} x_1 + 2x_2 = 1 \\ x_1 + 3x_2 = 2 \\ x_1 + 4x_2 = 3 \end{cases}

解得 $x_1 = -1, x_2 = 1$ ，成立。故 $\boldsymbol{\beta}_2 = -\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2$ 。

因此 $B$ 可由 $A$ 线性表示。

再判断 $A$ 能否由 $B$ 表示。由于 $\operatorname{rank}(A) = 2$ ， $\operatorname{rank}(B) = 2$ （两向量不成比例），且 $B$ 可由 $A$ 表示，是否自动推出 $A$ 可由 $B$ 表示？

我们需要验证。设 $\boldsymbol{\alpha}_1 = y_1 \boldsymbol{\beta}_1 + y_2 \boldsymbol{\beta}_2$ ：

\begin{cases} 0 \cdot y_1 + 1 \cdot y_2 = 1 \\ 1 \cdot y_1 + 2 \cdot y_2 = 1 \\ 2 \cdot y_1 + 3 \cdot y_2 = 1 \end{cases}

第一式得 $y_2 = 1$ ，代入第二式 $y_1 + 2 = 1$ 得 $y_1 = -1$ ，代入第三式 $-2 + 3 = 1$ 成立。故 $\boldsymbol{\alpha}_1 = -\boldsymbol{\beta}_1 + \boldsymbol{\beta}_2$ 。

同理可得 $\boldsymbol{\alpha}_2 = -2\boldsymbol{\beta}_1 + \boldsymbol{\beta}_2$ 。因此 $A$ 也可由 $B$ 表示。

所以 $A$ 与 $B$ 等价。

例 2： $A = \{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\}$ ， $B = \{(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)\}$ ，判断等价性。

解： $\operatorname{rank}(A) = 3$ ， $\operatorname{rank}(B) =$ 计算行列式：

\det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - 0 + 1 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = 1 + 1 = 2 \neq 0

因此 $\operatorname{rank}(B) = 3$ 。

由于秩相等且均为 $\mathbb{R}^3$ 中的极大线性无关组，它们都能张成整个 $\mathbb{R}^3$ ，因此 $\operatorname{span}(A) = \operatorname{span}(B) = \mathbb{R}^3$ ，故等价。

实际计算也可验证互相表示。

例 3：证明：若 $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示，则向量组 $\{\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m\}$ 与 $\{\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m, \boldsymbol{\beta}\}$ 等价。

证：

显然， $\{\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m\}$ 中的每个向量可由 $\{\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m, \boldsymbol{\beta}\}$ 线性表示（取本身的系数为 $1$ ，其余为 $0$ ）。
反过来， $\{\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m, \boldsymbol{\beta}\}$ ${α_{1}, \dots, α_{m}, β}$ 中的每个向量：
- 前 $m$ 个可由 $\{\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m\}$ 自身表示。
- $\boldsymbol{\beta}$ 由已知条件可表示。因此两组等价。

推论：向量组与其线性无关的延伸组不等价（因为维数变化，张成空间不同），但与其线性相关的延伸组等价（如上例）。

例 4：判断以下命题真假： “若 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(B)$ ，则 $A$ 与 $B$ 等价。”

解：假命题。反例：

A = \{(1, 0)\},\quad B = \{(0, 1)\}

秩均为 $1$ ，但 $A$ 不能表示 $B$ （(0,1) 不能由 (1,0) 线性表示），故不等价。

7. 常见易错点

向量组等价 ≠ 矩阵等价：向量组等价要求互相线性表示（列空间相等），矩阵等价只要求同型且秩相等。切勿混淆。
向量组等价 ≠ 秩相等：秩相等是必要条件，但不是充分条件。必须验证互相表示。
表示方向不可逆推：若 $A$ 可由 $B$ 表示，不能自动推出 $B$ 可由 $A$ 表示。必须两个方向都验证。
向量组等价与向量个数无关：等价向量组可以有不同的向量个数（但秩相同）。例如 $\{(1,0)\}$ 与 $\{(1,0), (2,0)\}$ 等价（因为后者可由前者表示，且前者也可由后者表示），尽管个数不同。
接长向量组与原向量组的关系：若原向量组 $A$ 与延伸组 $\tilde{A}$ 维数不同，它们一般不等价（因为张成的空间在不同维数空间中）。

8. 补充：等价的判定流程总结

给定两组向量 A 和 B
      │
      ▼
  计算 rank(A) 和 rank(B)
      │
      ├── rank(A) ≠ rank(B)  ──→ 不等价 ❌
      │
      └── rank(A) = rank(B) = r
               │
               ▼
       判断 A 能否由 B 表示
       判断 B 能否由 A 表示
               │
               ├── 两个方向均可表示  ──→ 等价 ✅
               │
               └── 至少一个方向不能  ──→ 不等价 ❌