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3.5极大线性无关组

#数学#线性代数#向量

1. 定义

1.1 定义

设 A:α1,α2,…,αmA: \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m 是一个 nn 维向量组。若 AA 的一个部分组：

αi1,αi2,…,αir\boldsymbol{\alpha}_{i_1}, \boldsymbol{\alpha}_{i_2}, \dots, \boldsymbol{\alpha}_{i_r}

满足以下两个条件：

  1. 线性无关：该部分组线性无关；
  2. 极大性：向量组 AA 中任意向量都可由该部分组线性表示（等价地，添加 AA 中任何一个其余向量到该部分组中，都会使新向量组线性相关）。

则称该部分组为向量组 AA 的极大线性无关组（maximal linearly independent subset），简称极大无关组。

1.2 与向量组秩的关系

  • 向量组的秩定义为极大无关组中所含向量的个数。
  • 记作 rank⁡(A)\operatorname{rank}(A) 或 r(A)r(A)。
rank⁡{α1,…,αm}=极大无关组中向量的个数\operatorname{rank}\{\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m\} = \text{极大无关组中向量的个数}

1.3 直观理解

  • 极大无关组是向量组中”最能代表整个向量组”的一个子集。
  • 它包含了向量组中所有”独立的方向”，既不冗余（线性无关），又能生成整个向量组（极大性）。

2. 极大无关组的条件

一个部分组 {αi1,…,αir}\{\boldsymbol{\alpha}_{i_1}, \dots, \boldsymbol{\alpha}_{i_r}\} 是向量组 AA 的极大无关组   ⟺  \iff 以下条件同时成立：

条件数学表述说明
线性无关k1αi1+⋯+krαir=0⇒k1=⋯=kr=0k_1 \boldsymbol{\alpha}_{i_1} + \cdots + k_r \boldsymbol{\alpha}_{i_r} = \mathbf{0} \Rightarrow k_1 = \cdots = k_r = 0该部分组没有冗余
极大性（生成性）∀αj∈A\forall \boldsymbol{\alpha}_j \in A，αj\boldsymbol{\alpha}_j 可由该部分组线性表示该部分组能代表整个向量组

2.1 极大性的等价表述

极大性也可等价表述为：

  • 在保持线性无关的前提下，不能再从 AA 中取更多向量加入该部分组。
  • 或者说：该部分组的秩等于原向量组的秩。

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2.2 对零向量组的说明

若向量组 AA 中全为零向量，则不存在极大无关组（或约定极大无关组为空集，秩为 00）。因为任何部分组若不包含任何向量，则空集是线性无关的（约定），且空集可以”表示”零向量（系数全取 00）。但通常我们只对非零向量组讨论极大无关组。

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3. 极大无关组的性质

3.1 存在性

  • 任意向量组（不全是零向量）都存在极大无关组。
  • 特别地，任意向量组都与它的极大无关组等价。

3.2 不唯一性

  • 一个向量组的极大无关组不一定唯一。
  • 但同一个向量组的任意两个极大无关组所含向量个数相同（都等于秩）。
  • 同一个向量组的任意两个极大无关组互相等价（可互相线性表示）。

3.3 与向量组本身的关系

  • 原向量组 AA 与它的极大无关组等价。
  • 若 AA 本身线性无关，则 AA 本身就是它的极大无关组。
  • 若 AA 线性相关，则可以从 AA 中剔除若干个”多余”的向量得到极大无关组。

3.4 与张成空间的关系

span⁡(A)=span⁡(极大无关组)\operatorname{span}(A) = \operatorname{span}(\text{极大无关组})

即极大无关组与原向量组张成相同的子空间。

3.5 部分组性质

  • 若向量组的某个部分组线性无关，则该部分组可扩充为一个极大无关组（扩充定理）。
  • 若向量组的某个部分组线性无关，且该部分组的向量个数等于向量组的秩，则该部分组就是极大无关组。

3.6 延伸/缩短与极大无关组

  • 若向量组 AA 的极大无关组为 BB，则 AA 的延伸组（添加分量）的极大无关组中向量个数可能增加（因为维数增加，可能出现新的独立方向），也可能不变。
  • 缩短组的极大无关组中向量个数可能减少。

4. 线性表示关系下的极大无关组

4.1 若向量组 AA 可由向量组 BB 线性表示

设 A={α1,…,αm}A = \{\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m\}，B={β1,…,βs}B = \{\boldsymbol{\beta}_1, \dots, \boldsymbol{\beta}_s\}，且 AA 可由 BB 线性表示。则：

  • AA 的极大无关组可由 BB 的极大无关组线性表示。
  • rank⁡(A)≤rank⁡(B)\operatorname{rank}(A) \leq \operatorname{rank}(B)。
  • 特别地，若 AA 可由 BB 线性表示且 AA 线性无关，则 ∣A∣≤rank⁡(B)|A| \leq \operatorname{rank}(B)。

4.2 若两个向量组等价

若 AA 与 BB 等价（互相线性表示），则：

  • AA 的极大无关组与 BB 的极大无关组等价。
  • rank⁡(A)=rank⁡(B)\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(B)。
  • AA 的极大无关组也可由 BB 的极大无关组线性表示，反之亦然。

4.3 极大无关组在线性表示中的应用

设 {αi1,…,αir}\{\boldsymbol{\alpha}_{i_1}, \dots, \boldsymbol{\alpha}_{i_r}\} 是 AA 的一个极大无关组，则：

  • AA 中任意向量 αj\boldsymbol{\alpha}_j 都可由该极大无关组唯一线性表示。
  • 表示系数可通过解线性方程组求得。
  • 当利用矩阵行最简形求极大无关组时，同时可以读取这些表示系数。

5. 极大无关组的求法（初等行变换法）

5.1 基本思想

将向量组按列排成矩阵，进行初等行变换化为行最简形（RREF）。初等行变换不改变列向量组之间的线性关系。

笔记

（同：初等列变换不改变行向量组之间的线性关系（线性表示的倍数关系等）本质：对每个行向量施加同一个可逆线性变换——坐标轴的缩放 + 剪切 + 置换。因为变换是均匀施加在所有行向量上的，所以系数结构纹丝不动——就像你同时旋转/拉伸一组相关联的箭头，它们之间的组合关系不会因为视角或尺度的改变而破坏。）

5.2 具体步骤

设向量组为 α1,α2,…,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m（均为 nn 维列向量）。

步骤 1：构造矩阵

A=(α1α2⋯αm)A = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha}_1 & \boldsymbol{\alpha}_2 & \cdots & \boldsymbol{\alpha}_m \end{pmatrix}

即把每个向量作为一列。

步骤 2：对 AA 进行初等行变换，化为行最简形（RREF）：

A→初等行变换RREFA \xrightarrow{\text{初等行变换}} \text{RREF}

步骤 3：在 RREF 中，主元列（首非零元所在的列）对应的原向量构成一个极大无关组。

步骤 4：对于非主元列，在 RREF 中直接读出该列向量用主元列线性表示的系数，即原向量用极大无关组线性表示的系数。

5.3 示例

求向量组 α1=(1,1,1)\boldsymbol{\alpha}_1 = (1, 1, 1)，α2=(1,2,3)\boldsymbol{\alpha}_2 = (1, 2, 3)，α3=(2,3,4)\boldsymbol{\alpha}_3 = (2, 3, 4)，α4=(3,5,7)\boldsymbol{\alpha}_4 = (3, 5, 7) 的一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组表示。

解： 将向量按列排成矩阵：

A=(112312351347)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 5 \\ 1 & 3 & 4 & 7 \end{pmatrix}

做初等行变换：

(112312351347)→r2−r1,  r3−r1(112301120224)→r3−2r2(112301120000)→r1−r2(101101120000)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 5 \\ 1 & 3 & 4 & 7 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2 - r_1,\; r_3 - r_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 2 & 4 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3 - 2r_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_1 - r_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

行最简形为：

(101101120000)\begin{pmatrix} \boxed{1} & 0 & 1 & 1 \\ 0 & \boxed{1} & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

主元列：第 1 列和第 2 列。因此 α1,α2\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2 构成一个极大无关组。

从 RREF 中直接读出：

  • 第 3 列 = 1⋅1 \cdot 第 1 列 + 1⋅1 \cdot 第 2 列 ⇒α3=α1+α2\Rightarrow \boldsymbol{\alpha}_3 = \boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2
  • 第 4 列 = 1⋅1 \cdot 第 1 列 + 2⋅2 \cdot 第 2 列 ⇒α4=α1+2α2\Rightarrow \boldsymbol{\alpha}_4 = \boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2

所以极大无关组为 {α1,α2}\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2\}，且 α3=α1+α2\boldsymbol{\alpha}_3 = \boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2，α4=α1+2α2\boldsymbol{\alpha}_4 = \boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2。

验证：rank⁡(A)=2\operatorname{rank}(A) = 2，极大无关组含 2 个向量。

5.4 注意事项

  • 矩阵的初等行变换不改变列向量组的线性关系，但行变换会改变行向量组的线性关系。因此求列向量组的极大无关组只能用行变换，不能用列变换。
  • 若用列变换，则改变的是行向量组的关系，不适用于列向量组的极大无关组。
  • 主元列的选择不唯一（当某列不是主元列时，选择不同的主元列策略会得到不同的极大无关组），但主元列的个数（即秩）是唯一确定的。

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6. 多个向量组同时处理

当需要处理多个向量组（如判断两个向量组是否等价，或求公共极大无关组）时，可将它们拼成一个矩阵，同时做行变换。

6.1 求两个向量组的极大无关组的关系

设有向量组 A={α1,…,αm}A = \{\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m\} 和 B={β1,…,βs}B = \{\boldsymbol{\beta}_1, \dots, \boldsymbol{\beta}_s\}，将它们按列拼成一个大矩阵：

M=(α1⋯αmβ1⋯βs)M = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha}_1 & \cdots & \boldsymbol{\alpha}_m & \boldsymbol{\beta}_1 & \cdots & \boldsymbol{\beta}_s \end{pmatrix}

对 MM 做初等行变换化为 RREF，则：

  • 主元列对应的原向量（包括 AA 和 BB 中的向量）构成 A∪BA \cup B 的极大无关组。
  • 由此可看出 AA 的极大无关组与 BB 的极大无关组之间的关系。

6.2 判断两个向量组是否等价

利用拼成的矩阵化 RREF 后：

  • 若 AA 的所有向量在 RREF 中对应的列都可以用 BB 的列线性表示，且反之亦然，则 AA 与 BB 等价。
  • 更直接地：AA 与 BB 等价   ⟺  \iff rank⁡(A)=rank⁡(B)=rank⁡(A∪B)\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(B) = \operatorname{rank}(A \cup B)。

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7. 典型例题

例 1：求向量组 α1=(1,−1,2,4)\boldsymbol{\alpha}_1 = (1, -1, 2, 4)，α2=(0,3,1,2)\boldsymbol{\alpha}_2 = (0, 3, 1, 2)，α3=(3,0,7,14)\boldsymbol{\alpha}_3 = (3, 0, 7, 14)，α4=(2,1,5,10)\boldsymbol{\alpha}_4 = (2, 1, 5, 10) 的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组表示。

解：

A=(1032−13012175421410)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 2 \\ -1 & 3 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 7 & 5 \\ 4 & 2 & 14 & 10 \end{pmatrix}

初等行变换：

(1032−13012175421410)→r2+r1,  r3−2r1,  r4−4r1(1032033301110222)→r2↔r3(1032011103330222)→r3−3r2,  r4−2r2(1032011100000000)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 2 \\ -1 & 3 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 7 & 5 \\ 4 & 2 & 14 & 10 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2 + r_1,\; r_3 - 2r_1,\; r_4 - 4r_1} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2 \leftrightarrow r_3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3 - 3r_2,\; r_4 - 2r_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

行最简形为：

(1032011100000000)\begin{pmatrix} \boxed{1} & 0 & 3 & 2 \\ 0 & \boxed{1} & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

主元列为第 1、2 列，故 α1,α2\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2 是一个极大无关组。

从 RREF 读出：

  • α3=3α1+1α2\boldsymbol{\alpha}_3 = 3\boldsymbol{\alpha}_1 + 1\boldsymbol{\alpha}_2
  • α4=2α1+1α2\boldsymbol{\alpha}_4 = 2\boldsymbol{\alpha}_1 + 1\boldsymbol{\alpha}_2

秩为 22。

例 2：已知向量组 α1,α2,α3\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3 线性无关，证明 α1+α2,α2+α3,α3+α1\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_3 + \boldsymbol{\alpha}_1 也是极大无关组（即它们也线性无关且张成相同空间）。

证：由之前例题已证这三个向量线性无关。又因为：

{α1+α2α2+α3α3+α1\begin{cases} \boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 \\ \boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3 \\ \boldsymbol{\alpha}_3 + \boldsymbol{\alpha}_1 \end{cases}

线性无关且个数为 33，在三维空间中，任意三个线性无关的向量都是极大无关组，且张成整个空间。因此它们与原向量组等价，故也是原向量组的一个极大无关组。

（注意：这里原向量组 α1,α2,α3\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3 本身就是极大无关组，而新向量组也是极大无关组，它们等价但不同。）

例 3：求向量组 A={(1,2,1),(2,3,1),(3,5,2)}A = \{(1,2,1), (2,3,1), (3,5,2)\} 的极大无关组。

解：

A=(123235112)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}

初等行变换：

(123235112)→r2−2r1,  r3−r1(1230−1−10−1−1)→r3−r2(1230−1−1000)→−r2,  r1−2r2(101011000)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2 - 2r_1,\; r_3 - r_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3 - r_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{-r_2,\; r_1 - 2r_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

主元列为第 1、2 列，故 α1,α2\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2 是一个极大无关组。且 α3=α1+α2\boldsymbol{\alpha}_3 = \boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2。

8. 常见易错点

  1. 极大无关组不唯一：同一个向量组可以有多个不同的极大无关组，但个数相同（都等于秩）。做题时通常任取一个即可。

  2. 极大无关组是原向量组的部分组：不是任意线性无关的向量组都能称为极大无关组，必须是原向量组中的向量构成的，且能表示原向量组中的所有向量。

  3. 初等行变换不能改为列变换：求列向量组的极大无关组只能用行变换。若用列变换，则破坏列向量间的线性关系。

  4. 零向量不进入极大无关组：若向量组中含有零向量，极大无关组中一定不含零向量（因为零向量无法令部分组线性无关）。

  5. 极大无关组不一定唯一，但秩唯一：这是最基本但最容易忽视的性质。

  6. 极大无关组与原向量组等价：这意味着它们在张成空间和线性表示能力上是完全相同的。

  7. 不能混淆”极大无关组”和”基础解系”：基础解系是齐次线性方程组解空间的一个极大无关组，但它是解空间的概念，不直接等于任意向量组的极大无关组。

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