3.6向量组的秩

向量组的秩

1. 定义

1.1 向量组秩的定义

设向量组 $A: \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m$，若 $A$ 的极大线性无关组中含有 $r$ 个向量，则称 $r$ 为向量组 $A$ 的秩，记作：

$$\operatorname{rank}(A) \quad \text{或} \quad r(A) \quad \text{或} \quad r(\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m)$$

1.2 特殊情形

• 若向量组中全为零向量，则不存在极大无关组（或约定极大无关组为空集），秩定义为 $0$。
• 若向量组线性无关，则它本身就是自己的极大无关组，秩等于向量个数。

1.3 秩的直观意义

秩表示向量组中“真正独立的方向数”，即张成空间的维数：

$$\operatorname{rank}(A) = \dim\bigl(\operatorname{span}(A)\bigr)$$

例如：

• $\mathbb{R}^3$ 中三个共面向量的秩为 $2$（张成一个平面）。
• $\mathbb{R}^n$ 中 $n$ 个线性无关向量的秩为 $n$（张成全空间）。

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2. 秩的唯一性

2.1 极大无关组不唯一，但秩唯一

• 同一向量组的不同极大无关组所含向量个数相同，这个公共的个数就是秩。
• 换言之，无论选取哪个极大无关组，其向量个数都等于秩，秩由向量组自身唯一确定。

2.2 为什么唯一？

设有两个极大无关组 $B_1$ 和 $B_2$，它们互相等价（因为都等价于原向量组）。 $B_1$和$B_2$都线性无关又能互相表示，那么$B_1$和$B_2$的向量个数一样。 又因为他们都是极大无关组，所以两个极大无关组的向量个数就是向量组的秩，是相同的、唯一的。

2.3 唯一性的具体表现

• 向量组的秩不依赖于向量顺序。
• 向量组的秩是线性不变量（在初等变换下保持不变）。
• 矩阵的秩唯一，因此与之相关的行秩、列秩也唯一。

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3. 向量组线性无关/相关时秩的性质

3.1 线性无关与秩

向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性无关 $\iff$ $\operatorname{rank}(A) = m$（秩等于向量个数）。

3.2 线性相关与秩

向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性相关 $\iff$ $\operatorname{rank}(A) < m$（秩小于向量个数）。

3.3 特殊情况

• 含零向量的向量组：若某向量为零向量，则秩 $\leq m-1$（零向量不影响秩，但使向量组必相关）。
• 部分组与整体组的秩： $$\operatorname{rank}(\text{部分组}) \leq \operatorname{rank}(\text{整体组})$$ 部分相关不能推出整体相关，但部分组的秩 ≤ 整体组的秩恒成立。

3.4 秩与维数的关系

• $n$ 维向量组的秩 $\leq n$（因为张成的空间维数不能超过 $n$）。
• 向量组的秩 $\leq$ 向量个数（因为极大无关组不能超过原向量组个数）。
• 若向量组线性无关，则秩 = 向量个数 ≤ 维数。

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4. 向量组线性表示时秩的性质

4.1 秩在表示下的不等式

设向量组 $A: \boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 可由向量组 $B: \boldsymbol{\beta}_1, \dots, \boldsymbol{\beta}_s$ 线性表示，则：

$$\operatorname{rank}(A) \leq \operatorname{rank}(B)$$

证明思路：$A$ 的极大无关组可由 $B$ 的极大无关组线性表示，而线性无关组由另一组线性表示时，个数不能超过后者的秩。

4.2 等价向量组的秩相等

若向量组 $A$ 与 $B$ 等价（互相线性表示），则：

$$\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(B)$$

注意：反之不成立——秩相等不能推出等价（需要互表示）。 （比如A：a（1,0）和B：b（0,1）这两个向量组，r都是1但不能互表示，不等价）

4.3 秩相等 + 单方向表示 ⇒ 等价

若 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(B)$ 且 $A$ 可由 $B$ 线性表示（或 $B$ 可由 $A$ 线性表示），则 $A$ 与 $B$ 等价。

证明：设 $r = \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(B)$。取 $A$ 的极大无关组 $A_0$，$B$ 的极大无关组 $B_0$。由 $A$ 可由 $B$ 表示，则 $A_0$ 可由 $B$ 表示，进而可由 $B_0$ 表示。又 $|A_0| = |B_0| = r$（这个绝对值号表示向量组的向量个数），且 $A_0$ 线性无关，故 $A_0$ 与 $B_0$ 等价，从而 $A$ 与 $B$ 等价。

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4.4 向量组并集的秩

设 $A$ 和 $B$ 是两个向量组，则：

$$\operatorname{rank}(A \cup B) = \dim\bigl(\operatorname{span}(A) + \operatorname{span}(B)\bigr)$$

且有以下不等式：

$$\max\{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\} \leq \operatorname{rank}(A \cup B) \leq \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B)$$

特别地：

• 若 $A$ 与 $B$ 等价，则 $\operatorname{rank}(A \cup B) = \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(B)$。
• 若 $\operatorname{span}(A) \cap \operatorname{span}(B) = \{\mathbf{0}\}$，则 $\operatorname{rank}(A \cup B) = \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B)$。

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5. 与线性无关组、极大线性无关组的关系

5.1 秩与极大无关组

• 秩 = 极大无关组中向量的个数。
• 极大无关组是秩的“具体实现”——找到秩就找到了极大无关组，反之亦然。

5.2 秩与线性无关组的关系

• 向量组中任意线性无关部分组的向量个数 ≤ 秩。
• 若某个线性无关部分组的向量个数等于秩，则该部分组就是极大无关组。
• 反之，极大无关组一定是线性无关组，且个数达到最大值（秩）。

5.3 扩充定理

设 $A$ 的秩为 $r$，若 $A$ 中有一个线性无关的部分组 $B$ 含有 $k$ 个向量（$k < r$），则可以从 $A$ 中再选出 $r - k$ 个向量，与 $B$ 一起构成 $A$ 的一个极大无关组。

5.4 秩与向量组张成空间维数的关系

$$\dim\bigl(\operatorname{span}(A)\bigr) = \operatorname{rank}(A)$$

因此：

• 秩为 $r$ 的向量组张成一个 $r$ 维子空间。
• 该子空间的任意一组基都是该向量组的一个极大无关组（当该向量组本身就是该子空间的一组基时，向量组本身也是极大无关组）。

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6. 矩阵的行秩与列秩

6.1 行秩的定义

矩阵 $A_{m \times n}$ 的行向量组的秩称为矩阵的行秩。

6.2 列秩的定义

矩阵 $A_{m \times n}$ 的列向量组的秩称为矩阵的列秩。

6.3 核心定理：行秩 = 列秩 = 矩阵的秩

对于任意矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$，有：

$$\text{行秩}(A) = \text{列秩}(A) = \operatorname{rank}(A)$$

其中 $\operatorname{rank}(A)$ 是矩阵的秩（即最高阶非零子式的阶数，或行最简形中主元行的数目）。

证明要点：

• 初等行变换不改变行秩，也不改变列秩（因为行变换保持列向量间的线性关系）。
• 行最简形中，非零行的数目 = 主元列的数目。
• 非零行对应原矩阵行向量组的一个极大无关组，主元列对应原矩阵列向量组的一个极大无关组。
• 两者数目相等，故行秩 = 列秩。

6.4 求矩阵秩的方法

1. 初等行变换法：化为行阶梯形，非零行数即为秩。
2. 子式法：最高阶非零子式的阶数。
3. 行列式法（对方阵）：$\det(A) \neq 0 \iff \operatorname{rank}(A) = n$。

6.5 向量组秩的矩阵求法

将向量组按列排成矩阵 $A$，则向量组的秩等于矩阵 $A$ 的列秩，也等于 $\operatorname{rank}(A)$。

同理，若按行排成矩阵，则向量组的秩等于该矩阵的行秩。

6.6 常见性质（矩阵秩与向量组秩的对应）

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7. 典型例题

例 1：求向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1 = (1, -1, 2, 4)$，$\boldsymbol{\alpha}_2 = (0, 3, 1, 2)$，$\boldsymbol{\alpha}_3 = (3, 0, 7, 14)$，$\boldsymbol{\alpha}_4 = (2, 1, 5, 10)$ 的秩。

解：按列排成矩阵，做行变换：

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 2 \\ -1 & 3 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 7 & 5 \\ 4 & 2 & 14 & 10 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

非零行数为 $2$，故 $\operatorname{rank}(A) = 2$。向量组的秩为 $2$。

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例 2：已知向量组 $A$ 的秩为 $3$，$B$ 的秩为 $4$，且 $A$ 可由 $B$ 线性表示，则 $A$ 与 $B$ 是否等价？

解：不等价。因为 $\operatorname{rank}(A) = 3 \neq \operatorname{rank}(B) = 4$，等价必秩相等。

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例 3：设 $A$ 是 $5 \times 4$ 矩阵，$\operatorname{rank}(A) = 3$，则 $A$ 的行向量组的秩为多少？列向量组的秩呢？

解：行秩 = 列秩 = $\operatorname{rank}(A) = 3$。行向量共 5 个，秩为 3，故行向量组线性相关；列向量共 4 个，秩为 3，故列向量组线性相关。

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例 4：证明：若向量组 $A$ 可由向量组 $B$ 线性表示，则 $\operatorname{rank}(A) \leq \operatorname{rank}(B)$。

证：设 $A_0$ 是 $A$ 的极大无关组，$B_0$ 是 $B$ 的极大无关组。因为 $A$ 可由 $B$ 表示，所以 $A_0$ 可由 $B$ 表示，进而可由 $B_0$ 表示。由于 $A_0$ 线性无关，由“线性无关组由另一组线性表示时，个数 ≤ 后者的秩”知 $|A_0| \leq |B_0|$，即 $\operatorname{rank}(A) \leq \operatorname{rank}(B)$。

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8. 常见易错点

1. 秩相等 ≠ 等价：反例 $A = \{(1,0)\}$，$B = \{(0,1)\}$，秩均为 $1$，不等价。

2. 秩 ≤ 向量个数，也 ≤ 维数：这是两个不同的上界，取小者。

3. 行秩和列秩总是相等：但行向量组的极大无关组不一定和列向量组的极大无关组有任何直接关系。

4. 零向量组的秩为 0：注意区分“不含任何向量”和“都是零向量”。

5. 矩阵的秩 = 行秩 = 列秩，但向量组的秩若按行排列，则等于行秩；按列排列，则等于列秩。不要混淆排列方式。

6. 向量组等价 ⇒ 秩相等，但秩相等 $\not\Rightarrow$ 等价。需要同时有互相表示。

7. 初等行变换不改变列向量组的秩，但会改变行向量组？实际上行变换也不改变行向量组的秩（因为行变换保持行空间）。不过行变换会改变行向量本身，但行空间的维数不变。

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9. 补充：秩的常用不等式汇总

$$\begin{aligned} &\operatorname{rank}(A) \leq \min(m, n) \quad (A \in \mathbb{R}^{m \times n}) \\ &\operatorname{rank}(A+B) \leq \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) \\ &\operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\} \\ &\operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n \leq \operatorname{rank}(AB) \quad (\text{Sylvester 不等式}) \\ &\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A^T) = \operatorname{rank}(A^TA) \quad (\text{实矩阵}) \end{aligned}$$

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