线性方程组的表示法

一、线性方程组的一般形式

一个含有 $m$ 个方程、$n$ 个未知数的线性方程组可以写成：

$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \quad \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$$

其中：

• $x_1, x_2, \dots, x_n$ 为 未知数（unknowns）
• $a_{ij}$ 为 系数（coefficient），$i$ 表示方程行，$j$ 表示未知数序号
• $b_1, b_2, \dots, b_m$ 为 常数项（constant terms）

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二、矩阵表示法

2.1 系数矩阵

将方程组中所有未知数的系数按原位置排成的 $m \times n$ 矩阵，称为 系数矩阵（coefficient matrix），记作 $\boldsymbol{A}$：

$$\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}_{m \times n}$$

注意：系数矩阵不包含常数项 $b_i$。

2.2 未知数矩阵（列向量）

将所有未知数按顺序排成一列，得到 $n \times 1$ 的未知数矩阵（或未知向量），记作 $\boldsymbol{x}$：

$$\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}_{n \times 1}$$

2.3 常数项矩阵（列向量）

将所有常数项按顺序排成一列，得到 $m \times 1$ 的常数项矩阵（或右端向量），记作 $\boldsymbol{b}$：

$$\boldsymbol{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}_{m \times 1}$$

2.4 增广矩阵

把系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和常数项矩阵 $\boldsymbol{b}$ 拼在一起（在右侧多加一列），得到的 $m \times (n+1)$ 矩阵称为 增广矩阵（augmented matrix），记作 $\widetilde{\boldsymbol{A}}$ 或 $(\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{b})$：

$$\widetilde{\boldsymbol{A}} = (\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{b}) = \left( \begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{array} \right)_{m \times (n+1)}$$

作用：增广矩阵完整地保留了方程组的所有信息，是消元法（高斯消元） 的核心工具。

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三、矩阵方程形式

利用矩阵乘法，整个线性方程组可紧凑地写为一个矩阵方程：

$$\boxed{\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}}$$

即：

$$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$$

这是线性代数中最核心的表示法。

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四、向量形式（列向量线性组合）

将系数矩阵按列分块，方程组可以写成列向量的线性组合：

$$x_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + x_2 \boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + x_n \boldsymbol{\alpha}_n = \boldsymbol{b}$$

其中 $\boldsymbol{\alpha}_j = \begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{pmatrix}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的第 $j$ 列。

几何意义：方程组是否有解，等价于向量 $\boldsymbol{b}$ 能否由 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组 $\{\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_n\}$ 线性表示。这直接引出秩与线性相关性的讨论。

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五、齐次与非齐次线性方程组

5.1 齐次线性方程组 (Homogeneous System)

当所有常数项都为零时，称为 齐次线性方程组：

$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$$

即：

$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = 0 \\ \quad \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = 0 \end{cases}$$

性质：

• 必有零解（平凡解）：$\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 永远成立。
• 若存在非零解（非平凡解），则非零解的任意线性组合仍是解（解空间构成向量空间）。
• 当 $m < n$ 时，必有非零解。

5.2 非齐次线性方程组 (Non-homogeneous System)

常数项不全为零时，称为 非齐次线性方程组：

$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} \quad (\boldsymbol{b} \neq \boldsymbol{0})$$

性质：

• 不一定有解（可能无解）。
• 若 $\boldsymbol{x}^*$ 是一个特解，则通解 = 特解 + 对应齐次方程组的通解： $$\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}^* + \boldsymbol{x}_{\text{齐}}$$

5.3 关系总结

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六、总结对照表

核心思路：同一种方程组，三种视角——

• 矩阵方程 → 关注线性变换；
• 增广矩阵 → 便于消元计算；
• 向量形式 → 揭示线性组合与秩的本质。