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4.3线性方程组解的性质

#数学#线性代数#方程组

线性方程组的解的性质

一、导出组

设有线性方程组：

  • 齐次线性方程组（导出组）：Ax=0\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}
  • 非齐次线性方程组：Ax=b(b≠0)\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} \quad (\boldsymbol{b} \neq \boldsymbol{0})

其中非齐次方程组 Ax=b\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} 所对应的齐次方程组 Ax=0\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} 称为该非齐次方程组的导出组。

二、齐次线性方程组解的性质

Ax=0\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}，其解具有封闭性，全体解构成向量空间（解空间）。

性质 1：一个解加一个解仍是解（加法封闭）

若 ξ1,ξ2\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2 是齐次方程组 Ax=0\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} 的任意两个解，则 ξ1+ξ2\boldsymbol{\xi}_1 + \boldsymbol{\xi}_2 也是它的解。

证明：

A(ξ1+ξ2)=Aξ1+Aξ2=0+0=0\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\xi}_1 + \boldsymbol{\xi}_2) = \boldsymbol{A}\boldsymbol{\xi}_1 + \boldsymbol{A}\boldsymbol{\xi}_2 = \boldsymbol{0} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0}

一句话：两个齐次解相加，仍是齐次解。

性质 2：一个解的 kk 倍仍是解（数乘封闭）

若 ξ\boldsymbol{\xi} 是齐次方程组 Ax=0\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} 的解，kk 为任意常数，则 kξk\boldsymbol{\xi} 也是它的解。

证明：

A(kξ)=k(Aξ)=k⋅0=0\boldsymbol{A}(k\boldsymbol{\xi}) = k(\boldsymbol{A}\boldsymbol{\xi}) = k \cdot \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0}

一句话：齐次解的任意常数倍，仍是齐次解。

性质 3：解的线性组合也是解（线性组合封闭）

若 ξ1,ξ2,…,ξs\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2, \dots, \boldsymbol{\xi}_s 都是齐次方程组 Ax=0\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} 的解，k1,k2,…,ksk_1, k_2, \dots, k_s 为任意常数，则它们的线性组合：

k1ξ1+k2ξ2+⋯+ksξsk_1\boldsymbol{\xi}_1 + k_2\boldsymbol{\xi}_2 + \cdots + k_s\boldsymbol{\xi}_s

也是它的解。

证明（由性质1和性质2直接推出）：

A(k1ξ1+⋯+ksξs)=k1Aξ1+⋯+ksAξs=0+⋯+0=0\boldsymbol{A}(k_1\boldsymbol{\xi}_1 + \cdots + k_s\boldsymbol{\xi}_s) = k_1\boldsymbol{A}\boldsymbol{\xi}_1 + \cdots + k_s\boldsymbol{A}\boldsymbol{\xi}_s = \boldsymbol{0} + \cdots + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0}

一句话：齐次解的任意线性组合，仍是齐次解。

三个性质的底层原因

以上三个性质都源于矩阵乘法的线性性：

A(αx+βy)=αAx+βAy\boldsymbol{A}(\alpha \boldsymbol{x} + \beta \boldsymbol{y}) = \alpha\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} + \beta\boldsymbol{A}\boldsymbol{y}

当 Ax=0\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} 且 Ay=0\boldsymbol{A}\boldsymbol{y} = \boldsymbol{0} 时，右边 = 0\boldsymbol{0}，左边自然也是 0\boldsymbol{0}。

推论：解空间

由性质 1、2、3 可知，齐次线性方程组 Ax=0\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} 的全体解向量构成 Rn\mathbb{R}^n 的一个子空间，称为解空间（或零空间、核），记作：

N(A)=ker⁡(A)={x∈Rn∣Ax=0}N(\boldsymbol{A}) = \ker(\boldsymbol{A}) = \{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n \mid \boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\}

其维数：

dim⁡N(A)=n−r(A)\dim N(\boldsymbol{A}) = n - r(\boldsymbol{A})

其中 nn 为未知数个数，r(A)r(\boldsymbol{A}) 为系数矩阵的秩。

三、非齐次线性方程组解的性质

Ax=b(b≠0)\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} \quad (\boldsymbol{b} \neq \boldsymbol{0})，其解不再具有封闭性。

3.1 非齐次解不再封闭

操作结果仍是解？原因
η1+η2\boldsymbol{\eta}_1 + \boldsymbol{\eta}_2❌ 不是A(η1+η2)=2b≠b\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\eta}_1 + \boldsymbol{\eta}_2) = 2\boldsymbol{b} \neq \boldsymbol{b}
kηk\boldsymbol{\eta}❌ 不是（k≠1k \neq 1）A(kη)=kb≠b\boldsymbol{A}(k\boldsymbol{\eta}) = k\boldsymbol{b} \neq \boldsymbol{b}
线性组合❌ 不是（一般情况）A(∑kiηi)=(∑ki)b≠b\boldsymbol{A}(\sum k_i \boldsymbol{\eta}_i) = (\sum k_i)\boldsymbol{b} \neq \boldsymbol{b}

结论：非齐次方程组的解集合不是向量空间，而是仿射空间（解空间的平移）。

性质 4：两个非齐次解的差是导出组的解（核心性质！）

若 η1,η2\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2 都是非齐次方程组 Ax=b\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} 的解，则 η1−η2\boldsymbol{\eta}_1 - \boldsymbol{\eta}_2 是其导出组 Ax=0\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} 的解。

证明：

A(η1−η2)=Aη1−Aη2=b−b=0\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\eta}_1 - \boldsymbol{\eta}_2) = \boldsymbol{A}\boldsymbol{\eta}_1 - \boldsymbol{A}\boldsymbol{\eta}_2 = \boldsymbol{b} - \boldsymbol{b} = \boldsymbol{0}

含义：非齐次方程组的任意两个解之间，相差一个齐次解。这揭示了非齐次解集的平移结构。

性质 5：一个非齐次特解 + 导出组的解 = 非齐次解

若 η∗\boldsymbol{\eta}^* 是非齐次方程组 Ax=b\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} 的一个特解，ξ\boldsymbol{\xi} 是其导出组 Ax=0\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} 的任意一个解，则 η∗+ξ\boldsymbol{\eta}^* + \boldsymbol{\xi} 也是非齐次方程组的解。

证明：

A(η∗+ξ)=Aη∗+Aξ=b+0=b\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\eta}^* + \boldsymbol{\xi}) = \boldsymbol{A}\boldsymbol{\eta}^* + \boldsymbol{A}\boldsymbol{\xi} = \boldsymbol{b} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{b}

含义：拿到一个特解之后，加上导出组的任意解，得到的仍是非齐次解。

性质 6：非齐次的任意解 = 特解 + 导出组的某个解

若 η\boldsymbol{\eta} 是非齐次方程组 Ax=b\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} 的任意一个解，则存在导出组的某个解 ξ\boldsymbol{\xi}，使得：

η=η∗+ξ\boldsymbol{\eta} = \boldsymbol{\eta}^* + \boldsymbol{\xi}

其中 η∗\boldsymbol{\eta}^* 是某个取定的特解。

证明：由性质 4，令 ξ=η−η∗\boldsymbol{\xi} = \boldsymbol{\eta} - \boldsymbol{\eta}^*，则 ξ\boldsymbol{\xi} 是导出组的解。□\square

结论：性质 5 和性质 6 合起来说明——非齐次方程组的解集 = 特解 + 导出组的解空间（一个平移）。

性质 7：非齐次解的系数和为 1 的线性组合仍是解

若 η1,η2,…,ηs\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \dots, \boldsymbol{\eta}_s 都是非齐次方程组 Ax=b\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} 的解，且 k1+k2+⋯+ks=1k_1 + k_2 + \cdots + k_s = 1，则：

k1η1+k2η2+⋯+ksηsk_1\boldsymbol{\eta}_1 + k_2\boldsymbol{\eta}_2 + \cdots + k_s\boldsymbol{\eta}_s

也是非齐次方程组的解。

证明：

A(∑i=1skiηi)=∑i=1skiAηi=∑i=1skib=(∑i=1ski)b=b\boldsymbol{A}\left(\sum_{i=1}^s k_i \boldsymbol{\eta}_i\right) = \sum_{i=1}^s k_i \boldsymbol{A}\boldsymbol{\eta}_i = \sum_{i=1}^s k_i \boldsymbol{b} = \left(\sum_{i=1}^s k_i\right) \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b}

注：当系数和＝1 时称为仿射组合（affine combination），这说明非齐次解集对仿射组合封闭。

四、通解的结构

4.1 齐次线性方程组通解

x=k1ξ1+k2ξ2+⋯+kn−rξn−r,ki∈R\boxed{\boldsymbol{x} = k_1\boldsymbol{\xi}_1 + k_2\boldsymbol{\xi}_2 + \cdots + k_{n-r}\boldsymbol{\xi}_{n-r}, \quad k_i \in \mathbb{R}}

其中 {ξ1,…,ξn−r}\{\boldsymbol{\xi}_1, \dots, \boldsymbol{\xi}_{n-r}\} 为基础解系，r=r(A)r = r(\boldsymbol{A})。

4.2 非齐次线性方程组通解

x=η∗+k1ξ1+k2ξ2+⋯+kn−rξn−r,ki∈R\boxed{\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\eta}^* + k_1\boldsymbol{\xi}_1 + k_2\boldsymbol{\xi}_2 + \cdots + k_{n-r}\boldsymbol{\xi}_{n-r}, \quad k_i \in \mathbb{R}}

其中：

  • η∗\boldsymbol{\eta}^* 为非齐次的一个特解
  • {ξ1,…,ξn−r}\{\boldsymbol{\xi}_1, \dots, \boldsymbol{\xi}_{n-r}\} 为导出组的基础解系

五、性质对照总表

性质齐次 Ax=0\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}非齐次 Ax=b\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}
解 + 解✅ 仍是解❌ 不是解
解的 kk 倍✅ 仍是解❌ 不是解（k≠1k \neq 1）
解的线性组合✅ 仍是解❌ 不是解（一般）
解的系数和 = 1 的线性组合—✅ 仍是解（仿射组合）
两解之差仍是解是导出组的解 ⭐
解 + 导出组解—✅ 仍是解 ⭐
任意解的结构基础解系的线性组合特解 + 导出组解 ⭐
解集的几何结构向量空间（过原点）仿射空间（不过原点）
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