线性方程组解的结构及求解

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一、齐次线性方程组的通解

1.1 解的结构

齐次方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$（$\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$，$r(\boldsymbol{A}) = r$），设 $\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2, \dots, \boldsymbol{\xi}_{n-r}$ 为它的一个基础解系，则其通解为：

$$\boxed{\boldsymbol{x} = k_1\boldsymbol{\xi}_1 + k_2\boldsymbol{\xi}_2 + \cdots + k_{n-r}\boldsymbol{\xi}_{n-r}, \quad k_i \in \mathbb{R}}$$

通解 = 基础解系的任意线性组合。$n - r$ 就是自由变量的个数，也是解空间的维数。

1.2 两种情形

齐次方程组不可能无解，零解永远存在。

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二、非齐次线性方程组的通解

2.1 解的结构（核心定理）

对于非齐次方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$（$\boldsymbol{b} \neq \boldsymbol{0}$），若它有解（相容），设：

• $\boldsymbol{\eta}^*$ 为它的一个特解
• $\boldsymbol{\xi}_1, \dots, \boldsymbol{\xi}_{n-r}$ 为其导出组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 的一个基础解系

则非齐次方程组的通解为：

$$\boxed{\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\eta}^* + k_1\boldsymbol{\xi}_1 + k_2\boldsymbol{\xi}_2 + \cdots + k_{n-r}\boldsymbol{\xi}_{n-r}, \quad k_i \in \mathbb{R}}$$

结构含义：非齐次通解 = 一个特解 + 导出组的齐次通解。 几何上，它是齐次解空间沿特解方向平移得到的仿射空间。

2.2 三种情形总表

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三、完整求解流程（非齐次方程组）

以下为求解 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 的标准六步法，涵盖一切情况。

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第一步：写出增广矩阵

将方程组写成增广矩阵形式：

$$\widetilde{\boldsymbol{A}} = (\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{b}) = \left( \begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{array} \right)$$

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第二步：行变换化为简化行阶梯形

对增广矩阵 $\widetilde{\boldsymbol{A}}$ 进行初等行变换，直接化为简化行阶梯形（RREF）。

为什么要一步到位化成 RREF？ 若只化到普通阶梯形还需回代，RREF 可以直接读出同解方程组，方便同时求特解和基础解系。

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第三步：求秩并判断解的个数

从阶梯形矩阵中读出：

• $r(\boldsymbol{A})$ = 系数矩阵部分的秩（非零行行数，或主元个数）
• $r(\widetilde{\boldsymbol{A}})$ = 增广矩阵整体的秩

然后判定：

技巧：先看简化行阶梯形有没有 $(0, 0, \dots, 0 \mid c)$ 且 $c \neq 0$ 的行，有则立即判定无解。

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第四步：写出同解方程组

从简化行阶梯形直接写出同解方程组：

• 将主元变量保留在等号左边；
• 将自由变量移到等号右边（当作参数）。

得到的方程组中，每个主元变量都被自由变量显式表示。

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第五步：求特解 $\boldsymbol{\eta}^*$

在非齐次同解方程组中，令所有自由变量 = 0，代回求出主元变量的值，即得到一个特解 $\boldsymbol{\eta}^*$。

原理：令自由变量取 0 是最简单的选择，保证得到一个确切的非齐次解。

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第六步：求导出组的基础解系并写出通解

(a) 求导出组的基础解系

将同解方程组中的常数项改为 0（得到导出组的同解方程组），依次取下列 $n - r$ 组自由变量的值：

$$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \cdots, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}$$

每组值代入导出组的同解方程组，求出对应主元变量的值，得到一个解向量。共得 $n - r$ 个解向量 $\boldsymbol{\xi}_1, \dots, \boldsymbol{\xi}_{n-r}$，即为基础解系。

(b) 写出通解

$$\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\eta}^* + k_1\boldsymbol{\xi}_1 + k_2\boldsymbol{\xi}_2 + \cdots + k_{n-r}\boldsymbol{\xi}_{n-r}, \quad k_i \in \mathbb{R}$$

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三、完整求解流程（齐次方程组）

以下为求解 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 的标准步骤。齐次方程组必然相容（零解永远存在），因此无需判断无解的情形，只需区分「只有零解」还是「有无穷多解」。

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第一步：写出系数矩阵

将方程组写成系数矩阵形式（不需要增广，因为常数项全为零）：

$$\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$$

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第二步：行变换化为简化行阶梯形

对系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 进行初等行变换，化为简化行阶梯形（RREF）。

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第三步：求秩并判断解的个数

从简化行阶梯形中读出 $r(\boldsymbol{A})$（主元个数 = 非零行行数），并判定：

$n$ 为未知数个数。自由变量的个数 = $n - r(\boldsymbol{A})$。

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第四步：写出同解方程组

从简化行阶梯形矩阵直接读出同解方程组：

• 将主元变量保留在等号左边；
• 将自由变量移到等号右边（当作参数）。

此时每个主元变量都被自由变量显式表示。

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第五步：求基础解系并写出通解

(a) 求基础解系

自由变量共有 $n - r$ 个，依次令它们取下列 $n - r$ 组值：

$$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \cdots, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}$$

每组值代入同解方程组，求出对应主元变量的值，得到一个解向量。共得 $n - r$ 个解向量：

$$\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2, \dots, \boldsymbol{\xi}_{n-r}$$

它们即构成一个基础解系。

为什么线性无关？ 这组向量在自由变量的位置上恰好构成 $n-r$ 阶单位矩阵，天然满秩，因而线性无关。

(b) 写出通解

齐次方程组的通解为：

$$\boxed{\boldsymbol{x} = k_1\boldsymbol{\xi}_1 + k_2\boldsymbol{\xi}_2 + \cdots + k_{n-r}\boldsymbol{\xi}_{n-r}, \quad k_i \in \mathbb{R}}$$

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三、齐次与非齐次求解步骤对比

四、完整示例

求解：

$$\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 + x_4 = 1 \\ 2x_1 + 4x_2 - 2x_3 + 3x_4 = 4 \\ -x_1 - 2x_2 + x_3 + x_4 = 1 \end{cases}$$

第一步：增广矩阵

$$\widetilde{\boldsymbol{A}} = \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -2 & 3 & 4 \\ -1 & -2 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$

第二步：行变换 → RREF

$$\xrightarrow{\substack{R_2 - 2R_1 \\ R_3 + R_1}} \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 2 \end{array} \right) \xrightarrow{\substack{R_3 - 2R_2 \\ R_1 - R_2}} \left( \begin{array}{cccc|c} \boxed{1} & 2 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \boxed{1} & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 \end{array} \right)$$

第三行出现 $(0, 0, 0, 0 \mid -2)$，矛盾。

第三步：判定

$r(\boldsymbol{A}) = 2$（系数部分有两个主元第 1、4 列），$r(\widetilde{\boldsymbol{A}}) = 3$（增广部分有非零第三行）。

$2 \neq 3 \;\Longrightarrow\;$ 无解。

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四、有无穷多解的完整示例：

求解：

$$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 4 \end{cases}$$

第一步：增广矩阵

$$\widetilde{\boldsymbol{A}} = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{array} \right)$$

第二步：行变换 → RREF

$$\xrightarrow{R_2 - R_1} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right) \xrightarrow{R_1 - R_2} \left( \begin{array}{ccc|c} \boxed{1} & 0 & -1 & -2 \\ 0 & \boxed{1} & 2 & 3 \end{array} \right)$$

化为简化行阶梯形 ✓。

第三步：求秩并判定

• $r(\boldsymbol{A}) = 2$（两个主元，第 1、2 列）
• $r(\widetilde{\boldsymbol{A}}) = 2$（无矛盾行）
• $n = 3$

$2 = 2 < 3 \;\Longrightarrow\;$ 有无穷多解。继续往下。

第四步：写出同解方程组

从 RREF 直接读出：

$$\begin{cases} x_1 - x_3 = -2 \\ x_2 + 2x_3 = 3 \end{cases} \;\Longrightarrow\; \begin{cases} x_1 = -2 + x_3 \\ x_2 = 3 - 2x_3 \end{cases}$$

主元变量：$x_1, x_2$；自由变量：$x_3$。$n - r = 1$。

第五步：求特解 $\boldsymbol{\eta}^*$

令自由变量 $x_3 = 0$，代入同解方程组：

$$x_1 = -2,\quad x_2 = 3$$

得特解：

$$\boldsymbol{\eta}^* = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$$

第六步：求导出组基础解系并写出通解

(a) 求导出组基础解系

将同解方程组常数项改为 0，得导出组同解方程组：

$$\begin{cases} x_1 = x_3 \\ x_2 = -2x_3 \end{cases}$$

令自由变量 $x_3 = 1$，得：

$$\boldsymbol{\xi} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$$

此即基础解系（只有一个向量）。

(b) 写出通解

$$\boxed{\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R}}$$

写成坐标形式：

$$\begin{cases} x_1 = -2 + k \\ x_2 = 3 - 2k \\ x_3 = k \end{cases} \quad k \in \mathbb{R}$$

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四、齐次完整示例

第一步：系数矩阵

$$\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \\ 3 & 6 & 1 & 5 \end{pmatrix}$$

第二步：行变换 → RREF

$$\xrightarrow{\substack{R_2 - 2R_1 \\ R_3 - 3R_1}} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & -5 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{-\frac{1}{3}R_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} \\ 0 & 0 & -5 & 2 \end{pmatrix}$$ $$\xrightarrow{\substack{R_1 - 2R_2 \\ R_3 + 5R_2}} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & \frac{5}{3} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \xrightarrow{3R_3} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & \frac{5}{3} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\xrightarrow{\substack{R_1 - \frac{5}{3}R_3 \\ R_2 + \frac{1}{3}R_3}} \begin{pmatrix} \boxed{1} & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \boxed{1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \boxed{1} \end{pmatrix}$$

第三步：判定

主元在第 1、3、4 列 → $r(\boldsymbol{A}) = 3$，$n = 4$。

$3 < 4 \;\Longrightarrow\;$ 有无穷多解（有非零解）。自由变量个数 = $n - r = 1$。

第四步：同解方程组

从 RREF 读出：

$$\begin{cases} x_1 + 2x_2 = 0 \\ x_3 = 0 \\ x_4 = 0 \end{cases} \;\Longrightarrow\; \begin{cases} x_1 = -2x_2 \\ x_3 = 0 \\ x_4 = 0 \end{cases}$$

主元变量：$x_1, x_3, x_4$；自由变量：$x_2$。

第五步：求基础解系并写通解

令自由变量 $x_2 = 1$，代入同解方程组：

$$x_1 = -2,\quad x_3 = 0,\quad x_4 = 0$$

得基础解系（仅一个向量）：

$$\boldsymbol{\xi} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

通解：

$$\boxed{\boldsymbol{x} = k \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R}}$$

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五、求解流程总结图

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五（齐次）求解流程总结图

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六、几点补充说明

特解的求法不唯一

令所有自由变量 = 0 只是最简单的做法。自由变量取任意常数都将得到一个特解，不同取值得到不同特解，但通解的整体集合不变。

齐次方程组的求解

若题目本身就是齐次方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$，则省去「求特解」这一步：

• 直接对系数矩阵 $\boldsymbol{A}$（不需要增广，因为常数项全是 0）行变换 → RREF；
• 写出同解方程组，依次给自由变量赋值，求出基础解系；
• 通解 = 基础解系的线性组合。

「导出组」一词的由来

非齐次方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 的导出组是 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$。之所以叫「导出组」，是因为非齐次解之间的差会导出齐次解，从而导出整个解的结构。

求基础解系时自由变量取法的本质

依次取 $(1,0,\dots,0)^\mathrm{T}, (0,1,\dots,0)^\mathrm{T}, \dots$ 是为了保证得到的向量组在自由变量分量上构成单位矩阵，从而天然线性无关。只要是 $n-r$ 组线性无关的自由变量取值（即它们排成的 $(n-r)\times(n-r)$ 矩阵可逆），得到的解向量组就线性无关，都是合法的基。