《特征值和特征向量》的知识点笔记 包括但不限于：

• 特征值和特征向量的定义和关系
  • 特征值和特征向量的定义
  • 特征值和特征向量的关系
    • k倍的特征向量还是特征值的特征向量
    • 特征向量只能属于一个特征值
    • 特征值的特征向量的线性组合还是特征向量
• 特征值和特征向量的求法
  • 特征值的求法
    • 写出$\lambda E-A$（或$A-\lambda E$其实也行）
    • 写出$|\lambda E-A|$
    • 解特征方程$|\lambda E-A|=0$
      • A为二阶方阵时（直接计算）
      • A为对角形、三角形矩阵时（直接读出主对角线元素）
      • A的零元素比较多时（按行展开再计算）
      • 特征行列式$|\lambda E-A|$的行和（列和）相等时，相加每行（列）到一行上提出去再计算
      • 特征行列式$|\lambda E-A|$里有对应相等的数或相反数可抵消，抵消后可能有公因子
  • 特征向量的求法
    • 写出齐次线性方程组$(\lambda E-A)\alpha=0$，求它的非零通解。（基础解析的系数不全为零）
• 特征值和特征向量的性质

  • $n$阶矩阵$A$有n个特征根（可能相同）（重根也算个数）

  • $n$阶矩阵$A$与其转置矩阵$A^T$有相同的特征多项式、有相同的特征值。（但特征向量一般不一样）（$|\lambda E-A|=|\lambda E-A^T|$）

  • $n$阶矩阵$A$的特征值相加等于矩阵A的主对角线元素相加（矩阵的迹）

  • $n$阶矩阵$A$的特征值相乘等于矩阵A的行列式

    • $n$阶方阵$A$可逆$\Leftrightarrow$A的所有特征值都不等于0
    • $n$阶方阵$A$不可逆$\Leftrightarrow$A的特征值至少有一个是0

  • 矩阵A的对应于不同特征值的特征向量线性无关

    • 矩阵A的对应于不同特征值的线性无关特征向量组合起来的大向量组线性无关

  • 若$\lambda$是矩阵A的k重特征值，则A的对应于$\lambda$的线性无关的特征向量的个数不超过k个

    • 若$\lambda$是矩阵A的单特征值（单根），则A的对应于$\lambda$的线性无关的特征向量只有1个

  • 特征值对应表

    矩阵	$A$	$A^m$	$kA$	$A+E$	$f(A)$	$A^2+2A+3E$	$A^{-1}$	$A^*$
    特征值	$\lambda$	$\lambda^m$	$k\lambda$	$\lambda+1$	$f(\lambda)$	$\lambda^2+2\lambda+3$	$\displaystyle\frac{1}{\lambda}$	$\frac{\|A\|}{\lambda}$
    特征向量	$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$

  • 矩阵$A=(a_{ij})_{n*n}$且$r(A)=1$，则A的特征值为$\lambda_{1}=\sum_{i=1}^{n} a_{i i}$，$\lambda_{2}=\lambda_{3}=\cdots=\lambda_{n}=0$

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特征值和特征向量

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一、定义

1.1 特征值与特征向量的定义

设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，若存在一个数 $\lambda$ 和一个 $n$ 维非零列向量 $\boldsymbol{\alpha} \neq \boldsymbol{0}$，使得：

$$\boxed{\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha} = \lambda \boldsymbol{\alpha}}$$

则称：

• $\lambda$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值（eigenvalue）；
• $\boldsymbol{\alpha}$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的属于特征值 $\lambda$ 的一个特征向量（eigenvector）。

核心理解：矩阵 $\boldsymbol{A}$ 左乘特征向量 $\boldsymbol{\alpha}$，效果等同于将 $\boldsymbol{\alpha}$ 伸缩 $\lambda$ 倍，方向不变（$\lambda > 0$ 同向，$\lambda < 0$ 反向，$\lambda = 0$ 表示被压缩到零向量）。

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1.2 等价变形

$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha} = \lambda \boldsymbol{\alpha} \;\Longleftrightarrow\; \lambda \boldsymbol{\alpha} - \boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0} \;\Longleftrightarrow\; \boxed{(\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A})\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}}$$

这是一个关于 $\boldsymbol{\alpha}$ 的齐次线性方程组。因为 $\boldsymbol{\alpha} \neq \boldsymbol{0}$（特征向量要求非零），所以该齐次方程组必须有非零解，从而：

$$\det(\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}) = 0$$

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二、特征值与特征向量的关系

2.1 $k$ 倍的特征向量仍是特征向量

若 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量，$k \neq 0$ 为任意非零常数，则 $k\boldsymbol{\alpha}$ 仍是属于 $\lambda$ 的特征向量。

证明：

$$\boldsymbol{A}(k\boldsymbol{\alpha}) = k(\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}) = k(\lambda\boldsymbol{\alpha}) = \lambda(k\boldsymbol{\alpha})$$

注意：$k = 0$ 时得到的是零向量，不是特征向量（特征向量必须非零）。

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2.2 特征向量只能属于一个特征值

一个特征向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 不能同时属于两个不同的特征值。

证明：若 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha} = \lambda_1\boldsymbol{\alpha}$ 且 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha} = \lambda_2\boldsymbol{\alpha}$，则：

$$\lambda_1\boldsymbol{\alpha} = \lambda_2\boldsymbol{\alpha} \;\Longrightarrow\; (\lambda_1 - \lambda_2)\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}$$

由于 $\boldsymbol{\alpha} \neq \boldsymbol{0}$，必有 $\lambda_1 = \lambda_2$。$\square$

结论：一个特征向量与一个特征值一一绑定。

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2.3 属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是特征向量

若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 都是 $\boldsymbol{A}$ 的属于同一特征值 $\lambda$ 的特征向量，则它们的非零线性组合：

$$k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 \quad (\text{不全为零})$$

仍是属于 $\lambda$ 的特征向量。

证明：

$$\boldsymbol{A}(k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2) = k_1\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_2 = k_1\lambda\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\lambda\boldsymbol{\alpha}_2 = \lambda(k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2)$$

注意：不同特征值的特征向量的线性组合一般不是特征向量。

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三、特征值和特征向量的求法

3.1 特征值的求法

一般步骤

1. 写出特征矩阵：$\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}$（或 $\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E}$，均可）；
2. 写出特征多项式：$|\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}|$；
3. 解特征方程：$|\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}| = 0$，其根即为全部特征值。

在复数域内，$n$ 阶方阵恰有 $n$ 个特征值（重根按重数计）。

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技巧一：$\boldsymbol{A}$ 为二阶方阵（直接计算）

二阶方阵的特征多项式为：

$$|\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}| = \lambda^2 - \operatorname{tr}(\boldsymbol{A})\lambda + \det(\boldsymbol{A}) = 0$$

其中 $\operatorname{tr}(\boldsymbol{A}) = a_{11} + a_{22}$ 为迹，$\det(\boldsymbol{A})$ 为行列式。直接用求根公式即可。

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技巧二：$\boldsymbol{A}$ 为对角形或三角形矩阵（直接读出主对角线元素）

若 $\boldsymbol{A}$ 为对角矩阵、上三角矩阵或下三角矩阵，则其特征值就是主对角线上的所有元素。

原因：此时 $|\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}|$ 也是三角形行列式，值 = 主对角线元素之积 = $(\lambda - a_{11})(\lambda - a_{22})\cdots(\lambda - a_{nn})$。

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技巧三：$\boldsymbol{A}$ 的零元素比较多时（按行/列展开化简）

当矩阵含大量零元素时，在行列式 $|\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}|$ 中选零最多的行或列进行 Laplace 展开，可降阶简化计算。

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技巧四：特征行列式的行和（或列和）相等时

若 $|\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}|$ 的各行之和（或各列之和）均相等，设为 $R(\lambda)$，则：

1. 将第 2, 3, …, n 列（或行）都加到第 1 列（或行）上；
2. 第 1 列（或行）变为全相同的 $R(\lambda)$，可提取公因子 $R(\lambda)$；
3. 提取后行列式简化，利于进一步计算。

此时 $R(\lambda) = 0$ 的一个根就是一个特征值。

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技巧五：特征行列式里有对应相等或相反数可抵消

在化简 $|\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}|$ 时，若某两行（列）含有对应相等或互为相反数的元素，可通过行（列）相加减制造零元素，进而可能出现公因子（某行/列含 $\lambda$ 的一次式），提取后简化计算。

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3.2 特征向量的求法

对每一个求出的特征值 $\lambda_0$，求其特征向量的步骤：

步骤一：写出齐次线性方程组

将 $\lambda = \lambda_0$ 代入 $(\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A})\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$，得到一个具体的齐次线性方程组：

$$(\lambda_0 \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A})\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$$

步骤二：求齐次方程组的通解

用初等行变换求该齐次线性方程组的通解（基础解系的线性组合）。

步骤三：写出全体特征向量

设 $\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2, \dots, \boldsymbol{\xi}_s$ 为该齐次方程组的一个基础解系，则属于 $\lambda_0$ 的全体特征向量为：

$$\boxed{\boldsymbol{x} = k_1\boldsymbol{\xi}_1 + k_2\boldsymbol{\xi}_2 + \cdots + k_s\boldsymbol{\xi}_s, \quad k_i \text{ 不全为零}}$$

关键：基础解系的系数必须不全为零，否则得到的是零向量，零向量不是特征向量。

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四、特征值和特征向量的性质

4.1 $n$ 阶矩阵有 $n$ 个特征根

在复数域内，$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征方程 $|\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}| = 0$ 的 $n$ 次多项式恰有 $n$ 个根（重根按重数计个数）。

即：$\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$（可以有重复）。

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4.2 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{A}^\mathrm{T}$ 有相同的特征值

$$\boxed{|\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}| = |\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}^\mathrm{T}|}$$

因此 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{A}^\mathrm{T}$ 有相同的特征多项式和相同的特征值。

但特征向量一般不同：$\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{A}^\mathrm{T}$ 的属于同一特征值的特征向量通常不同。

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4.3 特征值之和等于矩阵的迹

设 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的全部 $n$ 个特征值，则：

$$\boxed{\sum_{i=1}^n \lambda_i = \sum_{i=1}^n a_{ii} = \operatorname{tr}(\boldsymbol{A})}$$

迹（trace）：主对角线元素之和。

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4.4 特征值之积等于矩阵的行列式

$$\boxed{\prod_{i=1}^n \lambda_i = |\boldsymbol{A}|}$$

推论：

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4.5 不同特征值对应的特征向量线性无关

定理：若 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_s$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的互不相同的特征值，$\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 分别是属于它们的特征向量，则：

$$\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s \quad \text{线性无关}$$

推广：将每个特征值对应的线性无关特征向量合在一起构成的大向量组，仍是线性无关的。

即分别从每个特征值的特征向量组中各取一个线性无关组，合在一起整体线性无关。

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4.6 $k$ 重特征值的线性无关特征向量个数不超过 $k$

定理：若 $\lambda_0$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的 $k$ 重特征值（即特征多项式含因子 $(\lambda - \lambda_0)^k$），则属于 $\lambda_0$ 的线性无关的特征向量的个数 $\leqslant k$。

推论：

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4.7 特征值与特征向量的对应关系表

核心规律：

• 对矩阵做多项式运算，特征值做相同的多项式运算；
• 特征向量始终保持不变。

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4.8 秩为 1 的矩阵的特征值

若 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A} = (a_{ij})_{n \times n}$ 满足 $r(\boldsymbol{A}) = 1$，则 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个特征值为：

$$\boxed{\lambda_1 = \sum_{i=1}^n a_{ii} = \operatorname{tr}(\boldsymbol{A}), \quad \lambda_2 = \lambda_3 = \cdots = \lambda_n = 0}$$

即：一个特征值等于迹（可能为零也可能非零），其余 $n-1$ 个特征值全为 $0$。

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五、补充说明

5.1 特征多项式不依赖于基的选择

特征多项式 $|\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}|$ 由矩阵相似不变量决定。相似矩阵有相同的特征多项式和特征值。

5.2 实矩阵的特征值

• 实矩阵的特征多项式是实系数多项式；
• 特征值可能是复数（成对出现的共轭复数）；
• 若 $\lambda$ 是实矩阵的复特征值，则 $\bar{\lambda}$ 也是特征值。

5.3 对称矩阵的特殊性质

• 实对称矩阵的特征值全是实数；
• 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交。

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六、求解示例

示例：求矩阵的特征值与特征向量

$$\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

（1）求特征值

$$|\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}| = \begin{vmatrix} \lambda-2 & -1 \\ -1 & \lambda-2 \end{vmatrix} = (\lambda-2)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda-1)(\lambda-3)$$

解得：$\lambda_1 = 1,\;\lambda_2 = 3$。

（2）求 $\lambda_1 = 1$ 的特征向量

$$(\lambda_1 \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}) = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

同解方程：$x_1 + x_2 = 0 \;\Longrightarrow\; x_1 = -x_2$。

令 $x_2 = 1$，得基础解系 $\boldsymbol{\xi}_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$。

属于 $\lambda_1 = 1$ 的全体特征向量：$\boldsymbol{x} = k_1\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$，$k_1 \neq 0$。

（3）求 $\lambda_2 = 3$ 的特征向量

$$(\lambda_2 \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}) = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

同解方程：$x_1 - x_2 = 0 \;\Longrightarrow\; x_1 = x_2$。

令 $x_2 = 1$，得基础解系 $\boldsymbol{\xi}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。

属于 $\lambda_2 = 3$ 的全体特征向量：$\boldsymbol{x} = k_2\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$，$k_2 \neq 0$。

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七、总结口诀

• 特征值求法：解 $|\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}| = 0$，化行列式为多项式，找全部根。
• 特征向量求法：代 $\lambda$ 入 $(\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A})\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$，求非零通解。
• 性质记忆：
  • 和 = 迹，积 = 行列式；
  • 不同特征值的特征向量线性无关；
  • $k$ 重特征值最多 $k$ 个线性无关特征向量；
  • 矩阵 $f(\boldsymbol{A})$ 的特征值 = $f(\lambda)$，特征向量不变。
• 秩 1 矩阵：一个非零特征值（迹），其余全零。