《相似矩阵的概念和性质》 包括但不限于：

• 相似矩阵的概念
  • （特别的，如果矩阵A能相似于对角形矩阵，则称A可对角化）
• 相似矩阵的性质
  • 如果两个矩阵相似，两个矩阵一定等价
  • 矩阵相似的反身性、对称性、传递性
  • 如果矩阵相似，矩阵的秩相等
  • 如果矩阵相似，矩阵的特征行列式相等，特征值相等
    • 如果$A \sim B$，则$|A|=|B|$；$A$的迹等于$B$的迹
      • $|A|$与$|B|$同时为零或同时不为零
      • $A$和$B$同时可逆或不可逆
  • 如果矩阵相似，那么矩阵的逆矩阵也相似，矩阵的伴随矩阵也相似，矩阵的转置也相似
  • 如果矩阵相似，那么矩阵的m次也相似（m为正整数）
  • 如果矩阵相似，那么矩阵的相同多项式也相似

  • 若$A \sim B$	四相等	四相似
    	$r(A)=r(B)$	$A^{-1} \sim B^{-1}$，$A^* \sim B^*$，$A^T\sim B^T$
    	$\lambda_{A}=\lambda_{B}$	$kA \sim kB$
    	$\|A\| = \|B\|$	$f(A) \sim f(B)$
    	$tr(A)=tr(B)$	$A^{m} \sim B^{m}$

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相似矩阵的概念和性质

一、相似矩阵的概念

1.1 定义

设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶方阵，若存在一个可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$（$|\boldsymbol{P}| \neq 0$），使得：

$$\boxed{\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P} = \boldsymbol{B}}$$

则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与矩阵 $\boldsymbol{B}$ 相似（similar），记作：

$$\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$$

其中 $\boldsymbol{P}$ 称为相似变换矩阵。

本质理解：$\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$ 意味着 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 是同一个线性变换在两组不同基下的矩阵表示。$\boldsymbol{P}$ 就是两组基之间的过渡矩阵（基变换矩阵）。因此相似矩阵描述的是同一个线性变换，只是观察的坐标系不同。

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1.2 可对角化

特别地，如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 能相似于一个对角形矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$，即存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$，使得：

$$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P} = \boldsymbol{\Lambda} = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & & 0 \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & \lambda_n \end{pmatrix}$$

则称 $\boldsymbol{A}$ 可对角化（diagonalizable）。

$\boldsymbol{\Lambda}$ 的对角线元素即为 $\boldsymbol{A}$ 的全部特征值。$\boldsymbol{P}$ 的列向量即为对应的 $n$ 个线性无关的特征向量。

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二、相似矩阵的性质

2.1 相似必等价

若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 一定等价。

回顾：$\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等价 $\Longleftrightarrow$ 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q}$ 使得 $\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q} = \boldsymbol{B}$。

相似是等价的特殊情形（$\boldsymbol{Q} = \boldsymbol{P}^{-1}$），所以相似 $\Rightarrow$ 等价，但反之不然。

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2.2 相似关系的三大性质（等价关系）

矩阵的相似关系是一种等价关系，满足：

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2.3 「四相等」

若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$，则以下四个量分别相等：

① 秩相等

$$r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{B})$$

原因：可逆矩阵乘法不改变秩。

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② 特征值相等

$$\lambda_{\boldsymbol{A}} = \lambda_{\boldsymbol{B}}$$

即 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 有相同的特征多项式、相同的特征值（包括重数）。

原因：

$$|\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{B}| = |\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}| = |\boldsymbol{P}^{-1}(\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A})\boldsymbol{P}| = |\boldsymbol{P}^{-1}|\cdot|\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}|\cdot|\boldsymbol{P}| = |\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}|$$

注意：特征值相同，但特征向量一般不同。若 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha} = \lambda \boldsymbol{\alpha}$，则 $\boldsymbol{B}(\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{\alpha}) = \lambda (\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{\alpha})$。$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{\alpha}$ 才是 $\boldsymbol{B}$ 的特征向量。

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③ 行列式相等

$$|\boldsymbol{A}| = |\boldsymbol{B}|$$

原因：$|\boldsymbol{B}| = |\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}| = |\boldsymbol{P}^{-1}|\cdot|\boldsymbol{A}|\cdot|\boldsymbol{P}| = |\boldsymbol{A}|$。

推论：

• $|\boldsymbol{A}|$ 与 $|\boldsymbol{B}|$ 同时为零或同时不为零；
• $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 同时可逆或同时不可逆。

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④ 迹相等

$$\operatorname{tr}(\boldsymbol{A}) = \operatorname{tr}(\boldsymbol{B})$$

原因：迹 = 所有特征值之和，特征值又相等，故迹相等。（也可由 $\operatorname{tr}(\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}) = \operatorname{tr}(\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}\boldsymbol{P}^{-1}) = \operatorname{tr}(\boldsymbol{A})$ 直接证明。）

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2.4 角标相似

若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$，则以下三类矩阵也分别相似：

① 逆矩阵相似

$$\boxed{\boldsymbol{A}^{-1} \sim \boldsymbol{B}^{-1}}$$

（前提：$\boldsymbol{A}$ 可逆，此时 $\boldsymbol{B}$ 也可逆。）

证明：由 $\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P} = \boldsymbol{B}$，取逆得 $\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{P} = \boldsymbol{B}^{-1}$。

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② 伴随矩阵相似

$$\boxed{\boldsymbol{A}^* \sim \boldsymbol{B}^*}$$

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③ 转置矩阵相似

$$\boxed{\boldsymbol{A}^\mathrm{T} \sim \boldsymbol{B}^\mathrm{T}}$$

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2.5 矩阵的乘法相似

若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$，则

$$\boxed{k\boldsymbol{A} \sim k\boldsymbol{B}}$$

（$k$ 为任意常数。）

证明：$\boldsymbol{P}^{-1}(k\boldsymbol{A})\boldsymbol{P} = k(\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}) = k\boldsymbol{B}$。

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2.6 矩阵的 $m$ 次幂相似

若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$，则对任意正整数 $m$：

$$\boxed{\boldsymbol{A}^m \sim \boldsymbol{B}^m}$$

证明：

$$\boldsymbol{B}^m = (\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P})^m = \boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P} \cdot \boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P} \cdots \boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P} = \boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}^m\boldsymbol{P}$$

（中间的 $\boldsymbol{P}\boldsymbol{P}^{-1} = \boldsymbol{E}$ 全部消去）

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2.7 矩阵多项式的相似

若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$，则对任意多项式 $f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_m x^m$：

$$\boxed{f(\boldsymbol{A}) \sim f(\boldsymbol{B})}$$

证明：

$$\boldsymbol{P}^{-1}f(\boldsymbol{A})\boldsymbol{P} = \boldsymbol{P}^{-1}(a_0\boldsymbol{E} + a_1\boldsymbol{A} + \cdots + a_m\boldsymbol{A}^m)\boldsymbol{P} = a_0\boldsymbol{E} + a_1\boldsymbol{B} + \cdots + a_m\boldsymbol{B}^m = f(\boldsymbol{B})$$

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三、性质总结表

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四、「四相等」的推论

由 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$ 可得以下直接推论：

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五、相似与对角化的关系

5.1 $\boldsymbol{A}$ 可对角化的充要条件

$\boldsymbol{A}$ 可对角化（$\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{\Lambda}$）$\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

等价条件：

• 每个 $k$ 重特征值恰有 $k$ 个线性无关的特征向量；
• 即：对每个特征值 $\lambda_i$，其几何重数（线性无关特征向量的个数）= 代数重数（特征多项式中根的重数）。

5.2 充分条件（可立即判定）

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六、相似不变量总结

以下量在相似变换下保持不变，称为相似不变量：

这些不变量可用于判断两个矩阵是否相似：若以上任一不变量不同，则两矩阵一定不相似。但反过来，这些量全相同不保证一定相似。

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七、思维导图

矩阵相似 A ∼ B  ⟺  存在可逆阵 P，使得 P⁻¹AP = B
      │
      ├── 相似 ⇨ 等价（反之不然）
      │
      ├── 三大关系性质：反身性、对称性、传递性（等价关系）
      │
      ├── 【四相等】
      │   ├── r(A) = r(B)
      │   ├── λₐ = λᵦ（特征值相同）
      │   ├── |A| = |B|（同时为零or不为零，同时可逆or不可逆）
      │   └── tr(A) = tr(B)
      │
      └── 【四相似】
          ├── A⁻¹ ∼ B⁻¹、A* ∼ B*、Aᵀ ∼ Bᵀ
          ├── kA ∼ kB
          ├── Aᵐ ∼ Bᵐ
          └── f(A) ∼ f(B)