• 矩阵可对角化的条件
  • n阶矩阵A可对角化的充要条件是有n个线性无关的特征向量
  • 若n阶矩阵A有n个互异的特征值，则A可对角化
  • A的每个重特征值对应的线性无关特征向量的个数恰好等于该特征值的重数；
  • 对于 A的任一s重特征值，齐次线性方程组的基础解系含有s个向量
  • 对于 A 的任一s重特征值，有 nr(入E一A)=s；
  • 对于 A 的任一 s重特征值，有 r(入E一A)=n一s。　
• 可逆矩阵P及对角形矩阵的求法

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矩阵的对角化

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一、可对角化的定义

设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，若存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$，使得：

$$\boxed{\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P} = \boldsymbol{\Lambda}}$$

其中 $\boldsymbol{\Lambda} = \begin{pmatrix}\lambda_1 & & & 0 \\& \lambda_2 & & \\& & \ddots & \\0 & & & \lambda_n\end{pmatrix}$ 为对角形矩阵，则称 $\boldsymbol{A}$ 可对角化（diagonalizable）。

$\boldsymbol{\Lambda}$ 的对角线元素就是 $\boldsymbol{A}$ 的全部 $n$ 个特征值（重根按重数出现）。$\boldsymbol{P}$ 的列向量就是 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量。

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二、矩阵可对角化的条件

2.1 充要条件（核心定理）

定理：$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可对角化的充要条件是 $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

含义：只要能从 $\boldsymbol{A}$ 的所有特征向量中找出 $n$ 个线性无关的，把它们按列排成 $\boldsymbol{P}$，$\boldsymbol{P}$ 就可逆，进而实现对角化。

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2.2 充分条件（便于快速判定）

充分条件一：$n$ 个互异特征值

若 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个互不相同的特征值，则 $\boldsymbol{A}$ 一定可对角化。

原因：不同特征值对应的特征向量线性无关，$n$ 个互异特征值各自提供一个特征向量，共 $n$ 个线性无关的特征向量，满足充要条件。

注意：这是充分非必要条件。有重特征值时仍然可能可对角化，需要进一步判定。

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充分条件二：实对称矩阵

若 $\boldsymbol{A}$ 是实对称矩阵（$\boldsymbol{A}^\mathrm{T} = \boldsymbol{A}$），则 $\boldsymbol{A}$ 一定可对角化，且存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 使得 $\boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q} = \boldsymbol{Q}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q} = \boldsymbol{\Lambda}$。

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2.3 含重特征值的判定条件（关键）

当 $\boldsymbol{A}$ 有重特征值时，可对角化的判定需要逐一检查每个重特征值。

设 $\lambda_0$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的一个 $s$ 重特征值（即特征多项式含因子 $(\lambda - \lambda_0)^s$），有以下等价条件：

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等价条件 ①：线性无关特征向量个数 = 重数

$\boldsymbol{A}$ 可对角化 $\Longleftrightarrow$ 对 $\boldsymbol{A}$ 的每个特征值，其线性无关特征向量的个数恰好等于该特征值的重数。

即对任一 $s$ 重特征值 $\lambda_0$，属于 $\lambda_0$ 的线性无关特征向量恰有 $s$ 个。

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等价条件 ②：基础解系含 $s$ 个向量

$\boldsymbol{A}$ 可对角化 $\Longleftrightarrow$ 对 $\boldsymbol{A}$ 的任一 $s$ 重特征值 $\lambda_0$，齐次线性方程组 $(\lambda_0 \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A})\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 的基础解系含有 $s$ 个向量。

基础解系中向量的个数 = 自由变量的个数 = $n - r(\lambda_0 \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A})$，也就是解空间的维数。

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等价条件 ③：自由变量的个数 = $s$

$\boldsymbol{A}$ 可对角化 $\Longleftrightarrow$ 对 $\boldsymbol{A}$ 的任一 $s$ 重特征值 $\lambda_0$，有：

$$\boxed{n - r(\lambda_0 \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}) = s}$$

即：自由变量的个数 = 该特征值的重数。

其中：

• $n$ = 未知数个数（矩阵阶数）
• $r(\lambda_0 \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A})$ = 矩阵 $(\lambda_0 \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A})$ 的秩
• $n - r(\lambda_0 \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A})$ = 齐次方程组 $(\lambda_0 \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A})\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 的基础解系中向量个数

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等价条件 ④：秩的条件

$\boldsymbol{A}$ 可对角化 $\Longleftrightarrow$ 对 $\boldsymbol{A}$ 的任一 $s$ 重特征值 $\lambda_0$，有：

$$\boxed{r(\lambda_0 \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}) = n - s}$$

这是条件 ③ 的等价变形，移项即得。

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2.4 条件总结表

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三、两个核心概念：代数重数与几何重数

3.1 定义

3.2 可对角化的重述

$$\boldsymbol{A} \text{ 可对角化} \;\Longleftrightarrow\; \text{对每个特征值，几何重数 = 代数重数}$$

恒有：几何重数 $\leqslant$ 代数重数（$s$ 重特征值的线性无关特征向量个数 $\leqslant s$）。可对角化就是要求这个 $\leqslant$ 取到等号。

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四、可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 及对角形矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$ 的求法

4.1 标准步骤

第一步：求全部特征值

解特征方程 $|\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}| = 0$，得到 $\boldsymbol{A}$ 的全部 $n$ 个特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$（重根按重数重复写出）。

第二步：判断是否可对角化

• 若共有 $n$ 个互异特征值 → 一定可对角化，继续。
• 若有重特征值，对每个 $s$ 重特征值 $\lambda_0$，计算 $r(\lambda_0 \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A})$，验证 $r = n - s$ 是否成立。若对每个重特征值都成立，则可对角化；若有一个不成立，则不可对角化，停止。

第三步：对每个特征值求特征向量

对每个特征值 $\lambda_i$，求解齐次线性方程组：

$$(\lambda_i \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A})\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$$

• 若 $\lambda_i$ 是单特征值，求出1 个线性无关的特征向量 $\boldsymbol{\alpha}_i$。
• 若 $\lambda_i$ 是 $s$ 重特征值，求出 $s$ 个线性无关的特征向量 $\boldsymbol{\alpha}_{i1}, \boldsymbol{\alpha}_{i2}, \dots, \boldsymbol{\alpha}_{is}$（即基础解系）。

第四步：构造可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$

将得到的 $n$ 个线性无关的特征向量按列排布：

$$\boxed{\boldsymbol{P} = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_n)}$$

注意：列向量的排列顺序必须与对角矩阵中特征值的排列顺序一一对应。

第五步：写出对角形矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$

在 $\boldsymbol{\Lambda}$ 的主对角线上，按 $\boldsymbol{P}$ 中列向量的对应顺序放置特征值：

$$\boxed{\boldsymbol{\Lambda} = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & & 0 \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & \lambda_n \end{pmatrix}}$$

其中 $\lambda_i$ 的位置对应 $\boldsymbol{\alpha}_i$ 在 $\boldsymbol{P}$ 中的列位置。

第六步：验证（可选）

验证 $\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P} = \boldsymbol{\Lambda}$，或等价地 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{P} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}$。

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4.2 完整示例

将矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ 对角化（若可对角化）。

第一步：求特征值

$$|\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}| = \begin{vmatrix} \lambda-1 & 1 \\ -1 & \lambda-3 \end{vmatrix} = (\lambda-1)(\lambda-3) + 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 4 = (\lambda-2)^2$$

特征值：$\lambda = 2$（二重特征值，$s = 2$）。

第二步：判断可对角化

$$(\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

$r(2\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}) = 1$，$n - s = 2 - 2 = 0$。

$1 \neq 0$，即 $r \neq n - s$ → 不可对角化。停止。

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4.3 另一个示例（可对角化）

将矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ 对角化。

第一步：求特征值

$$|\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}| = \begin{vmatrix} \lambda-2 & -1 \\ -1 & \lambda-2 \end{vmatrix} = (\lambda-2)^2 - 1 = (\lambda-1)(\lambda-3)$$

特征值：$\lambda_1 = 1$（单根），$\lambda_2 = 3$（单根）。共 2 个互异特征值 → 可对角化。

第二步：求 $\lambda_1 = 1$ 的特征向量

$$(1\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}) = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

同解方程 $x_1 + x_2 = 0 \;\Longrightarrow\; x_1 = -x_2$。取 $x_2 = 1$，得：

$$\boldsymbol{\alpha}_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

第三步：求 $\lambda_2 = 3$ 的特征向量

$$(3\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}) = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

同解方程 $x_1 - x_2 = 0 \;\Longrightarrow\; x_1 = x_2$。取 $x_2 = 1$，得：

$$\boldsymbol{\alpha}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

第四步：构造 $\boldsymbol{P}$ 和 $\boldsymbol{\Lambda}$

$$\boldsymbol{P} = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2) = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\boldsymbol{\Lambda} = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$

验证

$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{P} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$ $$\boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$

$\boldsymbol{A}\boldsymbol{P} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}$ ✓

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五、含重特征值且可对角化的示例

将矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ 对角化。

第一步：求特征值

$$|\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}| = \begin{vmatrix} \lambda & 0 & -1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ -1 & 0 & \lambda \end{vmatrix}$$

按第二行展开：

$$= (\lambda-1)(\lambda^2 - 1) = (\lambda-1)^2(\lambda+1)$$

特征值：$\lambda_1 = 1$（二重，$s = 2$），$\lambda_2 = -1$（单根）。

第二步：判断可对角化

对 $\lambda = 1$：

$$(1\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

$r = 1$，$n - s = 3 - 2 = 1$。$1 = 1$ ✓ → 二重特征值满足条件，可对角化。

对单特征值 $\lambda = -1$ 自动成立，无需验证。

第三步：求特征向量

对 $\lambda = 1$：同解方程 $x_1 - x_3 = 0$，即 $x_1 = x_3$。自由变量：$x_2, x_3$。依次取 $(x_2, x_3) = (1, 0)$ 和 $(0, 1)$：

$$\boldsymbol{\alpha}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{\alpha}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

对 $\lambda = -1$：

$$(-1\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}) = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

同解方程组 $x_1 + x_3 = 0$，$x_2 = 0$。取 $x_3 = 1$：

$$\boldsymbol{\alpha}_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

第四步：构造 $\boldsymbol{P}$ 和 $\boldsymbol{\Lambda}$

$$\boldsymbol{P} = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\boldsymbol{\Lambda} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

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六、求解流程图

                n 阶矩阵 A
                    │
                    ▼
            求特征值 |λE - A| = 0
                    │
            ┌───────┴────────┐
            │                │
      有 n 个互异特征值   有重特征值
            │                │
            │           ┌────┴────────────┐
            │           │                 │
            │       对每个 s 重特征值    对某个 s 重特征值
            │       验证 r = n - s       验证 r ≠ n - s
            │           │                 │
            ▼           ▼                 ▼
        可对角化    可对角化          不可对角化
            │           │                （结束）
            └─────┬─────┘
                  │
                  ▼
       对每个特征值 λᵢ，求解
      (λᵢE - A)x = 0 的非零解
         得到全部特征向量
                  │
                  ▼
        将 n 个线性无关特征向量
          按列排成矩阵 P
                  │
                  ▼
        对角矩阵 Λ 的对角线元素
        = 对应的特征值（同顺序）
                  │
                  ▼
            A = PΛP⁻¹

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七、常见误区与注记

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八、可对角化的意义

• 计算高次幂：$\boldsymbol{A}^m = \boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}^m\boldsymbol{P}^{-1}$，而对角矩阵的高次幂极容易计算（对角线元素各自 $m$ 次方）；
• 矩阵函数：$f(\boldsymbol{A}) = \boldsymbol{P} f(\boldsymbol{\Lambda}) \boldsymbol{P}^{-1}$；
• 解微分方程组：$\boldsymbol{x}'(t) = \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}(t)$ 通过对角化解耦为 $n$ 个独立方程；
• 二次型标准化：对称矩阵的正交对角化用于将二次型化为标准形。