《内积与正交》 包括但不限于：

• 向量内积的定义
  • 内积就是点乘、数量积
  • 最终内积的结果是一个数
• 向量内积的性质
  • 非负性（向量和向量本身内积非负）
  • 交换律、数乘结合律、分配律
• 向量的范数（长度）（模）的定义
  • 长度为一称为单位向量
  • 单位化
• 向量正交的定义
  • 正交就是垂直
  • 零向量和任意向量都正交
    • 与本身正交的向量仅有零向量
• 正交向量组的定义
  • 特别的，由一个非零向量组成的向量组是正交向量组
  • 标准向量正交向量组（单位正交向量组）的定义
• 正交向量组的性质
  • 正交向量组必线性无关
• 施密特正交化方法
• 正交矩阵的定义
• 正交矩阵的性质
  • 若A为正交矩阵，则$|A|= \pm 1$
  • 若A为正交矩阵，则$A$可逆，且$A^{-1}=A^T$
    • 若A为正交矩阵，则$AA^T=A^TA=E$
  • 若$\lambda$是正交矩阵A的特征值，则$\frac{1}{\lambda}$也是其特征值
  • 若A是正交矩阵，则$A^T$，$A^*$，$A^{-1}$也是正交矩阵
  • 若A、B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵
  • 保内积性$(\mathrm{A} \alpha, \mathrm{~A} \beta)=(\alpha, \beta)$
  • 保长度性$\|\mathrm{A} \alpha\|=\|\alpha\|$
  • A为正交矩阵$\Leftrightarrow$A的列（行）向量组为单位正交向量组

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内积与正交

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一、向量内积的定义

1.1 定义

设 $\boldsymbol{\alpha} = (a_1, a_2, \dots, a_n)^\mathrm{T}$，$\boldsymbol{\beta} = (b_1, b_2, \dots, b_n)^\mathrm{T}$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的两个列向量，则它们的内积（inner product）定义为：

$$\boxed{(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}) = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n = \sum_{i=1}^n a_i b_i}$$

也可用矩阵乘法表示为：

$$(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}) = \boldsymbol{\alpha}^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}$$

1.2 别称

• 点乘（dot product）
• 数量积（scalar product）
• 点积

本质：内积的结果是一个数（标量），不是向量。

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二、向量内积的性质

设 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma} \in \mathbb{R}^n$，$k \in \mathbb{R}$，内积满足以下性质：

2.1 非负性（正定性）

$$(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\alpha}) \geqslant 0$$

且 $(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\alpha}) = 0 \;\Longleftrightarrow\; \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}$。

向量与自身的内积非负，且仅当向量为零向量时取零。

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2.2 对称性（交换律）

$$(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}) = (\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\alpha})$$

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2.3 数乘结合律

$$(k\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}) = k(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$$ $$(\boldsymbol{\alpha}, k\boldsymbol{\beta}) = k(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$$

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2.4 分配律（线性性）

$$(\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}) = (\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\gamma}) + (\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma})$$ $$(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\gamma}) = (\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}) + (\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\gamma})$$

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性质汇总

这些性质表明内积是一个对称正定双线性型。

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三、向量的范数（长度 / 模）

3.1 定义

向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 的范数（norm）或长度（length）定义为：

$$\boxed{\|\boldsymbol{\alpha}\| = \sqrt{(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\alpha})} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}}$$

几何意义：向量的欧几里得长度，即从原点到点 $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ 的距离。

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3.2 单位向量

若 $\|\boldsymbol{\alpha}\| = 1$，则称 $\boldsymbol{\alpha}$ 为单位向量（unit vector）。

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3.3 单位化（归一化）

将任意非零向量 $\boldsymbol{\alpha} \neq \boldsymbol{0}$ 化为单位向量的过程称为单位化或归一化（normalization）：

$$\boxed{\boldsymbol{\eta} = \frac{\boldsymbol{\alpha}}{\|\boldsymbol{\alpha}\|}}$$

则 $\|\boldsymbol{\eta}\| = 1$，$\boldsymbol{\eta}$ 与 $\boldsymbol{\alpha}$ 同方向。

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四、向量正交的定义

4.1 正交的定义

若两个向量 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 的内积为零，即：

$$\boxed{(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}) = 0}$$

则称 $\boldsymbol{\alpha}$ 与 $\boldsymbol{\beta}$ 正交（orthogonal），记作 $\boldsymbol{\alpha} \perp \boldsymbol{\beta}$。

通俗理解：正交就是垂直。

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4.2 零向量与任意向量正交

零向量 $\boldsymbol{0}$ 与任意向量都正交：

$$(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{\alpha}) = 0, \quad \forall \boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^n$$

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4.3 与自身正交的向量仅有零向量

若 $\boldsymbol{\alpha}$ 与自身正交，即 $(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\alpha}) = 0$，则由内积的非负性可知 $\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}$。

即：$\boldsymbol{\alpha} \perp \boldsymbol{\alpha} \;\Longleftrightarrow\; \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}$。非零向量不可能与自身正交。

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五、正交向量组的定义

5.1 正交向量组

若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 中的向量两两正交，即：

$$(\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\alpha}_j) = 0 \quad (i \neq j)$$

则称该向量组为正交向量组（orthogonal set）。

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5.2 特殊情形

• 由一个非零向量组成的向量组，自然满足两两正交的条件（因为没有两个向量可比较），视为正交向量组。
• 若正交向量组中的向量均为零向量，虽然没有实际意义，但形式上零向量与任意向量正交。

通常我们关注的是非零正交向量组。

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5.3 标准正交向量组（单位正交向量组）

若正交向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 中的每个向量都是单位向量（即 $\|\boldsymbol{\alpha}_i\| = 1$），则称之为：

• 标准正交向量组（orthonormal set）
• 单位正交向量组
• 规范正交向量组

即同时满足：

$$(\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\alpha}_j) = \begin{cases} 1, & i = j \\ 0, & i \neq j \end{cases}$$

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六、正交向量组的性质

6.1 核心性质：正交向量组必线性无关

若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 是非零的正交向量组，则它们必然线性无关。

证明：设 $k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + k_s\boldsymbol{\alpha}_s = \boldsymbol{0}$。用 $\boldsymbol{\alpha}_i$ 与等式两边做内积：

$$(\boldsymbol{\alpha}_i, k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + \cdots + k_s\boldsymbol{\alpha}_s) = k_i(\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\alpha}_i) = 0$$

由于 $\boldsymbol{\alpha}_i \neq \boldsymbol{0}$，有 $(\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\alpha}_i) > 0$，故 $k_i = 0$。由 $i$ 任意性得所有系数为零，证毕。

意义：正交性比线性无关更强——正交必然线性无关，反之不然。

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七、施密特正交化方法

7.1 目的

给定一组线性无关的向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s$，构造一组与之等价的正交向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \dots, \boldsymbol{\beta}_s$（并可进一步单位化得到标准正交向量组）。

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7.2 正交化公式

取第一个向量

$$\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1$$

构造第二个向量

从 $\boldsymbol{\alpha}_2$ 中减去其在 $\boldsymbol{\beta}_1$ 上的投影分量：

$$\boldsymbol{\beta}_2 = \boldsymbol{\alpha}_2 - \frac{(\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_1)}{(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_1)}\boldsymbol{\beta}_1$$

一般项

对 $k = 2, 3, \dots, s$：

$$\boxed{\boldsymbol{\beta}_k = \boldsymbol{\alpha}_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{(\boldsymbol{\alpha}_k, \boldsymbol{\beta}_j)}{(\boldsymbol{\beta}_j, \boldsymbol{\beta}_j)}\boldsymbol{\beta}_j}$$

思想：从 $\boldsymbol{\alpha}_k$ 中依次减去它在所有已构造出的 $\boldsymbol{\beta}_1, \dots, \boldsymbol{\beta}_{k-1}$ 上的投影，使得剩下的部分 $\boldsymbol{\beta}_k$ 与前面所有 $\boldsymbol{\beta}_j$ 均正交。

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7.3 单位化（得到标准正交向量组）

完成正交化后，对每个 $\boldsymbol{\beta}_i$ 进行单位化：

$$\boxed{\boldsymbol{\eta}_i = \frac{\boldsymbol{\beta}_i}{\|\boldsymbol{\beta}_i\|}}$$

则 $\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \dots, \boldsymbol{\eta}_s$ 为标准正交向量组。

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7.4 施密特正交化的性质

• 正交化不改变向量组张成的子空间：$\operatorname{span}\{\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s\} = \operatorname{span}\{\boldsymbol{\beta}_1, \dots, \boldsymbol{\beta}_s\}$；
• 单位化也不改变张成空间；
• 结果不唯一（依赖于线性无关向量组的选取顺序）。

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7.5 示例

将 $\boldsymbol{\alpha}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$，$\boldsymbol{\alpha}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ 正交化。

正交化：

$$\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $$\boldsymbol{\beta}_2 = \boldsymbol{\alpha}_2 - \frac{(\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_1)}{(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_1)}\boldsymbol{\beta}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix}$$

单位化：

$$\|\boldsymbol{\beta}_1\| = \sqrt{2},\quad \|\boldsymbol{\beta}_2\| = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$ $$\boldsymbol{\eta}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{\eta}_2 = \frac{2}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

验证：$(\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2) = 0$ ✓，$\|\boldsymbol{\eta}_1\| = \|\boldsymbol{\eta}_2\| = 1$ ✓。

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八、正交矩阵的定义

8.1 定义

若 $n$ 阶实方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足：

$$\boxed{\boldsymbol{A}^\mathrm{T}\boldsymbol{A} = \boldsymbol{E}}$$

（即 $\boldsymbol{A}$ 的转置等于其逆：$\boldsymbol{A}^\mathrm{T} = \boldsymbol{A}^{-1}$），则称 $\boldsymbol{A}$ 为正交矩阵（orthogonal matrix）。

等价表述：$\boldsymbol{A}$ 的列（行）向量组是 $\mathbb{R}^n$ 的标准正交基。

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九、正交矩阵的性质

性质 1：行列式为 $\pm 1$

若 $\boldsymbol{A}$ 为正交矩阵，则：

$$\boxed{|\boldsymbol{A}| = \pm 1}$$

证明：由 $\boldsymbol{A}^\mathrm{T}\boldsymbol{A} = \boldsymbol{E}$，取行列式得 $|\boldsymbol{A}^\mathrm{T}|\cdot|\boldsymbol{A}| = |\boldsymbol{E}|$，即 $|\boldsymbol{A}|^2 = 1$，故 $|\boldsymbol{A}| = \pm 1$。

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性质 2：可逆且逆等于转置

若 $\boldsymbol{A}$ 为正交矩阵，则 $\boldsymbol{A}$ 可逆，且：

$$\boxed{\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}^\mathrm{T}}$$

从而：

$$\boxed{\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^\mathrm{T} = \boldsymbol{A}^\mathrm{T}\boldsymbol{A} = \boldsymbol{E}}$$

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性质 3：特征值成对出现

若 $\lambda$ 是正交矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，则：

$$\boxed{\frac{1}{\lambda} \text{ 也是其特征值}}$$

即正交矩阵的特征值必满足 $\lambda \cdot \frac{1}{\lambda} = 1$。此外，实正交矩阵的特征值的模长为 1（$|\lambda| = 1$，可以是 $\pm 1$ 或共轭复根 $e^{\pm i\theta}$）。

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性质 4：转置、伴随、逆仍是正交矩阵

若 $\boldsymbol{A}$ 为正交矩阵，则以下矩阵仍是正交矩阵：

原因：

• $(\boldsymbol{A}^\mathrm{T})^\mathrm{T}\boldsymbol{A}^\mathrm{T} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^\mathrm{T} = \boldsymbol{E}$；
• $\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}^\mathrm{T}$，而 $\boldsymbol{A}^\mathrm{T}$ 已知是正交矩阵；
• $\boldsymbol{A}^* = |\boldsymbol{A}|\boldsymbol{A}^{-1} = \pm \boldsymbol{A}^{-1}$，而 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 是正交矩阵。

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性质 5：正交矩阵的乘积仍是正交矩阵

若 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶正交矩阵，则：

$$\boxed{\boldsymbol{A}\boldsymbol{B} \text{ 也是正交矩阵}}$$

证明：

$$(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})^\mathrm{T}(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}) = \boldsymbol{B}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{B} = \boldsymbol{B}^\mathrm{T}\boldsymbol{E}\boldsymbol{B} = \boldsymbol{B}^\mathrm{T}\boldsymbol{B} = \boldsymbol{E}$$

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性质 6：保内积性

若 $\boldsymbol{A}$ 为正交矩阵，则对任意向量 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$：

$$\boxed{(\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A}\boldsymbol{\beta}) = (\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})}$$

证明：

$$(\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A}\boldsymbol{\beta}) = (\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha})^\mathrm{T}(\boldsymbol{A}\boldsymbol{\beta}) = \boldsymbol{\alpha}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\alpha}^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta} = (\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$$

含义：正交变换不改变向量之间的内积，因此也不改变向量之间的夹角。

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性质 7：保长度性

若 $\boldsymbol{A}$ 为正交矩阵，则对任意向量 $\boldsymbol{\alpha}$：

$$\boxed{\|\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}\| = \|\boldsymbol{\alpha}\|}$$

证明（由保内积性直接推出）：

$$\|\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}\|^2 = (\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}) = (\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\alpha}) = \|\boldsymbol{\alpha}\|^2$$

含义：正交变换不拉伸也不压缩向量，仅做旋转或反射（长度不变）。

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性质 8：正交矩阵的列（行）向量组为标准正交向量组

这是正交矩阵的等价定义：

$$\boldsymbol{A} \text{ 为正交矩阵} \;\Longleftrightarrow\; \boldsymbol{A} \text{ 的列向量组是单位正交向量组}$$

即：将 $\boldsymbol{A}$ 按列分块为 $\boldsymbol{A} = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_n)$，则：

$$(\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\alpha}_j) = \begin{cases} 1, & i = j \\ 0, & i \neq j \end{cases}$$

同理，行向量组也是标准正交向量组。

验证方法：$\boldsymbol{A}^\mathrm{T}\boldsymbol{A} = \boldsymbol{E}$ 的矩阵乘法本质上就是在计算列向量两两之间的内积。

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十、正交矩阵性质汇总

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十一、各概念关系梳理

向量内积 (α, β)
    │
    ├── 范数 ‖α‖ = √(α, α)
    │       ├── 单位向量：‖α‖ = 1
    │       └── 单位化：η = α / ‖α‖
    │
    ├── 正交：(α, β) = 0（垂直）
    │       ├── 零向量与任意向量正交
    │       ├── 与自身正交的仅有零向量
    │       │
    │       ├── 正交向量组：两两正交
    │       │     ├── 性质：必线性无关
    │       │     └── 标准正交向量组：每个向量都是单位向量
    │       │           └── 正交矩阵的列（行）向量组
    │       │
    │       └── 施密特正交化：线性无关 → 正交 → 单位化 → 标准正交
    │
    └── 正交矩阵 AᵀA = E
          ├── |A| = ±1
          ├── A⁻¹ = Aᵀ
          ├── 保内积、保长度
          └── 乘积、转置、逆、伴随仍是正交矩阵

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十二、关键公式速记