《实对称矩阵的相似对角化》 包括但不限于：

• 实对称矩阵的概念
  • 正交相似的概念
• 实对称矩阵的性质
  • 实对称矩阵的特征值都是实数，特征向量都是实向量
  • 实对称矩阵的对应不同特征值的特征向量正交
  • n阶实对称矩阵必有n个线性无关的特征向量。
    • 设 A 为 n 阶实对称矩阵，则对于A 的任一s重特征值入，有 r(入E一A)=n一s。
    • 实对称矩阵对应于s重特征值的线性无关的特征向量恰有s个
  • 实对称矩阵一定可以对角化
• 实对称矩阵的对角化的求法
  • 求可逆矩阵P
  • 求正交矩阵Q
    • 要做施密特正交化（同一特征值的特征向量）
    • 要做单位化
    • 

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实对称矩阵的相似对角化

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一、实对称矩阵的概念

1.1 实对称矩阵

设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，若其所有元素 $a_{ij} \in \mathbb{R}$ 且满足：

$$\boxed{\boldsymbol{A}^\mathrm{T} = \boldsymbol{A}}$$

即 $a_{ij} = a_{ji}$（$i, j = 1, 2, \dots, n$），则称 $\boldsymbol{A}$ 为实对称矩阵。

几何意义：实对称矩阵表示的二次型关于自变量对称，矩阵关于主对角线对称。

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1.2 正交相似的概念

若存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$（满足 $\boldsymbol{Q}^{-1} = \boldsymbol{Q}^\mathrm{T}$），使得：

$$\boxed{\boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q} = \boldsymbol{Q}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q} = \boldsymbol{\Lambda}}$$

其中 $\boldsymbol{\Lambda}$ 为对角矩阵，则称 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{\Lambda}$ 正交相似。

正交相似 = 相似 + 正交变换。这是实对称矩阵对角化的独特优势：不仅能对角化，还能用正交矩阵实现，变换不改变向量的长度和夹角。

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二、实对称矩阵的性质

性质 1：特征值都是实数，特征向量都是实向量

实对称矩阵的所有特征值均为实数，且对应的特征向量均可取为实向量。

对比：一般实矩阵可能出现复数特征值和复特征向量；实对称矩阵完全避免了复数，所有计算可在实数域内完成。

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性质 2：不同特征值对应的特征向量正交

设 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ 是实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的两个不同特征值，$\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 分别是属于它们的特征向量，则：

$$\boxed{(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2) = 0}$$

即不同特征值的特征向量必然正交。

证明思路：

$$\lambda_1 (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2) = (\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2) = \boldsymbol{\alpha}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{A}^\mathrm{T}\boldsymbol{\alpha}_2 = \boldsymbol{\alpha}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_2 = \lambda_2 (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2)$$

由 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ 推得 $(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2) = 0$。

这是实对称矩阵最重要的性质之一，为正交对角化奠定了理论基础。

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性质 3：$n$ 阶实对称矩阵必有 $n$ 个线性无关的特征向量

实对称矩阵一定可对角化。对实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的任一 $s$ 重特征值 $\lambda_0$，恒有：

$$\boxed{r(\lambda_0 \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}) = n - s}$$

等价地：

$$\boxed{n - r(\lambda_0 \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}) = s}$$

即齐次方程组 $(\lambda_0 \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A})\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 的基础解系恰好含有 $s$ 个线性无关的特征向量。

换句话说：实对称矩阵对应于 $s$ 重特征值的线性无关的特征向量恰有 $s$ 个。这就是几何重数 = 代数重数的结论。

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性质 4：实对称矩阵一定可对角化

综合性质 1、2、3，可得以下结论：

• 特征值全为实数；
• 每个 $s$ 重特征值恰有 $s$ 个线性无关的特征向量；
• 总共有 $n$ 个线性无关的特征向量；
• ⇒ 必可对角化；
• 不同特征值的特征向量正交 ⇒ 可进一步实现正交对角化。

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三、实对称矩阵对角化的求法

3.1 求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$（普通相似对角化）

目标：求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$，使得 $\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P} = \boldsymbol{\Lambda}$。

步骤

1. 求特征值：解 $|\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}| = 0$，得 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$（重根按重数写）。
2. 求特征向量：对每个 $\lambda_i$，求解 $(\lambda_i \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A})\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$，得基础解系（$s$ 重特征值得 $s$ 个线性无关的特征向量）。
3. 构造 $\boldsymbol{P}$ 和 $\boldsymbol{\Lambda}$：
   • 将 $n$ 个特征向量按列排成 $\boldsymbol{P}$；
   • $\boldsymbol{\Lambda} = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$（顺序与 $\boldsymbol{P}$ 的列一一对应）。

此法构造的 $\boldsymbol{P}$ 一般不是正交矩阵，仅实现普通相似对角化。

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3.2 求正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$（正交相似对角化）⭐

目标：求正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$，使得 $\boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q} = \boldsymbol{Q}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q} = \boldsymbol{\Lambda}$。

完整步骤

第一步：求全部特征值

解特征方程 $|\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}| = 0$，获得 $\boldsymbol{A}$ 的全部 $n$ 个特征值。

第二步：对每个特征值求特征向量

对每个 $\lambda_i$，求解齐次线性方程组：

$$(\lambda_i \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A})\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$$

得到一组基础解系。

第三步：施密特正交化（仅对重特征值！）

关键原则：实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量已经自动正交，无需再正交化。

需要施密特正交化的情形：仅当 $\lambda_i$ 是 $s$ 重特征值（$s \geqslant 2$），且求出的 $s$ 个特征向量之间不正交时，才需要对这个 $s$ 个向量进行施密特正交化，得到 $s$ 个两两正交的特征向量。

施密特正交化公式：

$$\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1$$ $$\boldsymbol{\beta}_k = \boldsymbol{\alpha}_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{(\boldsymbol{\alpha}_k, \boldsymbol{\beta}_j)}{(\boldsymbol{\beta}_j, \boldsymbol{\beta}_j)}\boldsymbol{\beta}_j, \quad k = 2, 3, \dots, s$$

注意：若同一特征值下的特征向量已正交（内积为 0），则可跳过此步，直接进入单位化。

第四步：单位化（所有特征向量！）

对所有正交化后得到的 $n$ 个特征向量（包括单特征值的和重特征值处理后的），逐个进行单位化：

$$\boxed{\boldsymbol{\eta}_i = \frac{\boldsymbol{\beta}_i}{\|\boldsymbol{\beta}_i\|}}$$

此时 $\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \dots, \boldsymbol{\eta}_n$ 构成标准正交向量组（两两正交且均为单位向量）。

第五步：构造正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 和对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$

将标准正交化后的 $n$ 个特征向量按列排成正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$：

$$\boxed{\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \dots, \boldsymbol{\eta}_n)}$$

将对应特征值按相同顺序排成对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$：

$$\boldsymbol{\Lambda} = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & & 0 \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & \lambda_n \end{pmatrix}$$

最终满足：

$$\boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q} = \boldsymbol{Q}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q} = \boldsymbol{\Lambda}$$

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四、完整示例

将实对称矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ 正交对角化。

① 求特征值

$$|\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}| = \begin{vmatrix} \lambda & 0 & -1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ -1 & 0 & \lambda \end{vmatrix} = (\lambda-1)(\lambda^2 - 1) = (\lambda-1)^2(\lambda+1)$$

特征值：$\lambda_1 = 1$（二重），$\lambda_2 = -1$（单根）。

② 求特征向量

对 $\lambda = 1$（二重）：

$$(1\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

同解方程：$x_1 = x_3$，自由变量 $x_2, x_3$。依次取 $(1, 0)$ 和 $(0, 1)$：

$$\boldsymbol{\alpha}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{\alpha}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

验证：$(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2) = 0$ ✓，已正交。

对 $\lambda = -1$（单根）：

$$(-1\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}) = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

同解方程：$x_1 = -x_3,\; x_2 = 0$。取 $x_3 = 1$：

$$\boldsymbol{\alpha}_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

验证：$(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_3) = 0$，$(\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3) = 0$ ✓（不同特征值自动正交）。

③ 施密特正交化

• $\lambda = 1$ 的 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 已正交，无需处理；
• $\lambda = -1$ 的 $\boldsymbol{\alpha}_3$ 只有一个向量，无需处理。

④ 单位化

$$\boldsymbol{\eta}_1 = \frac{\boldsymbol{\alpha}_1}{\|\boldsymbol{\alpha}_1\|} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $$\boldsymbol{\eta}_2 = \frac{\boldsymbol{\alpha}_2}{\|\boldsymbol{\alpha}_2\|} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$ $$\boldsymbol{\eta}_3 = \frac{\boldsymbol{\alpha}_3}{\|\boldsymbol{\alpha}_3\|} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

⑤ 构造 $\boldsymbol{Q}$ 和 $\boldsymbol{\Lambda}$

$$\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \boldsymbol{\eta}_3) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$ $$\boldsymbol{\Lambda} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

验证：$\boldsymbol{Q}^\mathrm{T}\boldsymbol{Q} = \boldsymbol{E}$ ✓，$\boldsymbol{Q}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q} = \boldsymbol{\Lambda}$ ✓。

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五、两种对角化方法对比

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六、正交对角化求解流程图

              实对称矩阵 A
                    │
                    ▼
            求特征值 |λE - A| = 0
            （全为实数）
                    │
                    ▼
          对每个特征值 λᵢ，求解
         (λᵢE - A)x = 0 的基础解系
                    │
            ┌───────┴────────┐
            │                │
       单特征值           s 重特征值
        (s=1)             (s ≥ 2)
            │                │
            │           ┌────┴────┐
            │           │         │
            │      特征向量  特征向量
            │      已正交    不正交
            │           │         │
            │           │   施密特正交化
            │           │         │
            └───────┬───┴─────────┘
                    │
                    ▼
              单位化所有向量
           ηᵢ = βᵢ / ‖βᵢ‖
                    │
                    ▼
          将所有 ηᵢ 按列排成 Q
          对应 λᵢ 排成 Λ（同顺序）
                    │
                    ▼
           QᵀAQ = Λ  （正交相似对角化）

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七、核心结论速记

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八、常见误区