《二次型及矩阵表示》 包括但不限于：

• 二次型的定义
• 二次型的矩阵表达式和秩
  • 二次型的矩阵是实对称矩阵
  • 对称化（不是实对称矩阵时）
• 二次型的标准形的定义
  • 二次型的标准形只有平方项
  • 二次型化成标准形是不唯一的
• 二次型的标准形的对角形矩阵表达式和秩
• 二次型的规范形的定义
  • 二次型化成规范形是唯一的
• 二次型的规范形的矩阵表达式和秩
• 二次型的惯性指数和符号差的定义
  • 二次型的秩等于正负惯性指数的和
• 二次型的线性变换的定义
  • 旧变量等于矩阵乘新变量
• 二次型的线性变换的种类
  • 可逆线性变换（满秩、非奇异、非退化）
  • 正交线性变换
• 二次型的线性变换的性质
  • 线性变换乘积的矩阵等于各线性变换矩阵的乘积
  • 可逆线性变换的乘积仍是可逆
  • 二次型经过可逆线性变换，得到的仍是二次型，且秩不变
• 合同的定义
• 合同的性质
  • 反身、对称、传递性
  • 若 $A \simeq B$ ，则 $r(A)=r(B)$, $A \cong B$
  • 若 $A \simeq B$ ，则 $A=A^{T}$ 的充分必要条件是 $B^{T}=B$
  • 若 $A \simeq B$ ，则 $A$, $B$ 的可逆性相同；当 $A$, $B$ 都可逆时， $A^{-1} \simeq B^{-1}$
  • 若 $A \simeq B$ ，则 $A^{T} \simeq B^{T}$
  • 若二次型$f(x)=x^{T} A x$经可逆线性变换$x=C y$化为二次型$y^{T} B y$，其中$B=C^{T} A C$，则$A$与$B$合同．
  • 若二次型$f(x)=x^{T} A x$经正交变换$x=Q y$化为二次型$y^{T} B y$，其中$B=Q^{T} A Q=Q^{-1} A Q$，则$A$与$B$合同，且相似．
• 等价、相似、正交相似、合同四种矩阵关系的对比
  • 相似、正交相似、合同矩阵都等价
  • 正交相似矩阵都合同
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二次型及矩阵表示

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一、二次型的定义

1.1 定义

含有 $n$ 个变量 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 的二次齐次多项式（每一项都是二次的）称为二次型（quadratic form），其一般形式为：

$$f(x_1, x_2, \dots, x_n) = a_{11}x_1^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + \cdots + 2a_{1n}x_1x_n + a_{22}x_2^2 + 2a_{23}x_2x_3 + \cdots + 2a_{2n}x_2x_n + \cdots + a_{nn}x_n^2$$

用和式表示为：

$$\boxed{f(x_1, x_2, \dots, x_n) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j}$$

其中 $a_{ij} = a_{ji}$（即交叉项系数满足对称性，交叉项 $x_i x_j$ 的系数写成 $2a_{ij}$）。

本质：二次型就是变量的二次齐次多项式，每一项的次数均为 2（平方项 $x_i^2$ 或交叉项 $x_i x_j$）。

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二、二次型的矩阵表达式和秩

2.1 矩阵表达式

令 $\boldsymbol{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)^\mathrm{T}$，$\boldsymbol{A} = (a_{ij})_{n \times n}$ 为 $n$ 阶实对称矩阵（$a_{ij} = a_{ji}$），则二次型可表示为：

$$\boxed{f(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}}$$

其中 $\boldsymbol{A}$ 称为该二次型的矩阵。

展开验证：

$$\boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n) \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j$$

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2.2 二次型的矩阵是实对称矩阵

二次型的矩阵必须是实对称矩阵。原因：$x_i x_j$ 与 $x_j x_i$ 是同一项，系数需要分配，约定取 $a_{ij} = a_{ji}$ 以保证矩阵对称。

对称化方法：若初始写出的矩阵 $\boldsymbol{B}$ 不对称，则取：

$$\boxed{\boldsymbol{A} = \frac{\boldsymbol{B} + \boldsymbol{B}^\mathrm{T}}{2}}$$

此时 $\boldsymbol{A}$ 是实对称矩阵，且 $\boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{B}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$。

口诀：二次型矩阵必对称，不平分对半取平均。

示例：将 $f(x_1, x_2) = x_1^2 + 3x_1x_2 + 2x_2^2$ 写为矩阵形式。

交叉项 $3x_1x_2$ 拆分为 $\frac{3}{2}x_1x_2 + \frac{3}{2}x_2x_1$，则：

$$\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} & 2 \end{pmatrix}$$

验证：$\boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = x_1^2 + \frac{3}{2}x_1x_2 + \frac{3}{2}x_2x_1 + 2x_2^2 = x_1^2 + 3x_1x_2 + 2x_2^2$ ✓

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2.3 二次型的秩

二次型 $f(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$ 的秩就是其矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩：

$$\boxed{r(f) = r(\boldsymbol{A})}$$

含义：二次型的秩 = 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩 = 非零特征值的个数（实对称矩阵的秩等于非零特征值的个数）。

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三、二次型的标准形

3.1 定义

若一个二次型只含有平方项，不含任何交叉项（$x_i x_j,\; i \neq j$），即：

$$\boxed{f = d_1 y_1^2 + d_2 y_2^2 + \cdots + d_n y_n^2}$$

则称此形式为该二次型的标准形（standard form / canonical form）。

特征：标准形的矩阵是对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda} = \operatorname{diag}(d_1, d_2, \dots, d_n)$。

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3.2 二次型化成标准形是不唯一的

通过不同的可逆线性变换，同一二次型可以化成不同的标准形，系数 $d_i$ 的大小和排列顺序不唯一。

但由惯性定理，标准形中正系数个数、负系数个数、零系数个数是唯一的（正负惯性指数不变）。

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3.3 标准形的对角形矩阵表达式和秩

标准形 $f = d_1 y_1^2 + d_2 y_2^2 + \cdots + d_n y_n^2$ 的矩阵为对角矩阵：

$$\boldsymbol{\Lambda} = \begin{pmatrix} d_1 & & & 0 \\ & d_2 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & d_n \end{pmatrix}$$

二次型的秩 $r(f) = r(\boldsymbol{\Lambda})$ = 对角线上非零 $d_i$ 的个数。

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四、二次型的规范形

4.1 定义

在实数域中，二次型可进一步化为标准形后，再做一次伸缩变换（单位化各系数），使得所有非零平方项的系数仅为 $+1$ 或 $-1$，即：

$$\boxed{f = z_1^2 + \cdots + z_p^2 - z_{p+1}^2 - \cdots - z_{p+q}^2}$$

其中平方项全为 $+1$ 或 $-1$，称为二次型的规范形（normal form）。

特征：规范形的矩阵是对角矩阵，对角线元素仅为 $1, -1, 0$。

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4.2 二次型化成规范形是唯一的

与标准形不同，二次型的规范形是唯一的（在实数域中）。

惯性定理保证：不论通过何种可逆线性变换化为规范形，正项个数 $p$ 和负项个数 $q$ 始终不变。规范形由 $p, q$ 唯一确定。

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4.3 规范形的矩阵表达式和秩

规范形 $f = z_1^2 + \cdots + z_p^2 - z_{p+1}^2 - \cdots - z_{p+q}^2$ 的矩阵为：

$$\boldsymbol{\Lambda}_0 = \begin{pmatrix} \boldsymbol{E}_p & & \\ & -\boldsymbol{E}_q & \\ & & \boldsymbol{0}_{n-p-q} \end{pmatrix}$$

二次型的秩 $r(f) = p + q$（即非零系数的个数）。

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五、二次型的惯性指数和符号差

5.1 惯性指数

二次型 $f$ 化为规范形 $f = z_1^2 + \cdots + z_p^2 - z_{p+1}^2 - \cdots - z_{p+q}^2$ 时：

$p$ 和 $q$ 由二次型唯一确定（惯性定理），与化规范形的方式无关。

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5.2 符号差

正惯性指数与负惯性指数之差称为符号差（signature）：

$$\boxed{\text{符号差} = p - q}$$

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5.3 二次型的秩与惯性指数的关系

$$\boxed{r(f) = p + q}$$

即：二次型的秩 = 正惯性指数 + 负惯性指数。

零系数的个数 = $n - r(f) = n - p - q$。

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5.4 二次型的分类

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六、二次型的线性变换

6.1 定义

设 $\boldsymbol{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)^\mathrm{T}$ 为旧变量，$\boldsymbol{y} = (y_1, y_2, \dots, y_n)^\mathrm{T}$ 为新变量，若存在矩阵 $\boldsymbol{C}$ 使得：

$$\boxed{\boldsymbol{x} = \boldsymbol{C}\boldsymbol{y}}$$

则称 $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{C}\boldsymbol{y}$ 为一个从 $\boldsymbol{y}$ 到 $\boldsymbol{x}$ 的线性变换。代入二次型得：

$$f = \boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = (\boldsymbol{C}\boldsymbol{y})^\mathrm{T}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{C}\boldsymbol{y}) = \boldsymbol{y}^\mathrm{T}(\boldsymbol{C}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{C})\boldsymbol{y}$$

此时二次型在新变量 $\boldsymbol{y}$ 下的矩阵为：

$$\boxed{\boldsymbol{B} = \boldsymbol{C}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}}$$

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6.2 线性变换的种类

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6.3 线性变换的性质

性质 1：线性变换乘积的矩阵

若先做 $\boldsymbol{y} = \boldsymbol{C}_1 \boldsymbol{z}$，再做 $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{C}_2 \boldsymbol{y}$，则总变换为：

$$\boldsymbol{x} = \boldsymbol{C}_2 (\boldsymbol{C}_1 \boldsymbol{z}) = (\boldsymbol{C}_2 \boldsymbol{C}_1) \boldsymbol{z}$$

即线性变换乘积的矩阵等于各线性变换矩阵的乘积。

性质 2：可逆线性变换的乘积仍是可逆变换

若 $\boldsymbol{C}_1, \boldsymbol{C}_2$ 均可逆，则 $\boldsymbol{C}_2\boldsymbol{C}_1$ 也可逆。可逆线性变换的复合仍是可逆线性变换。

性质 3：可逆线性变换保秩

二次型经过可逆线性变换后，得到的仍是二次型（仍是二次齐次多项式），且秩不变：

$$\boxed{r(\boldsymbol{C}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}) = r(\boldsymbol{A})}$$

（前提：$\boldsymbol{C}$ 可逆）

可逆线性变换不改变二次型的秩、正负惯性指数、正定性等基本性质。

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七、合同

7.1 合同的定义

设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶方阵，若存在可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$，使得：

$$\boxed{\boldsymbol{C}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{C} = \boldsymbol{B}}$$

则称 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同（congruent），记作：

$$\boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B}$$

本质：合同关系描述的是同一二次型在不同基下的矩阵之间的关系（二次型经可逆线性变换后，新旧矩阵合同）。

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7.2 合同的性质

① 三大等价关系性质

② 秩相等且等价

若 $\boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B}$，则：

$$r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{B}), \quad \boldsymbol{A} \cong \boldsymbol{B} \text{（等价）}$$

合同 $\Rightarrow$ 等价（可逆矩阵乘法不改变秩）。

③ 对称性保持

若 $\boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B}$，则：

$$\boldsymbol{A} = \boldsymbol{A}^\mathrm{T} \;\Longleftrightarrow\; \boldsymbol{B} = \boldsymbol{B}^\mathrm{T}$$

即合同变换保持对称性：合同于对称矩阵的矩阵仍是对称矩阵。

实际意义：实对称矩阵经过合同变换（$\boldsymbol{C}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}$）后仍是实对称矩阵，二次型的矩阵始终保持对称。

④ 可逆性保持与逆矩阵合同

若 $\boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B}$，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 的可逆性相同（同时可逆或同时不可逆）；当两者都可逆时：

$$\boldsymbol{A}^{-1} \simeq \boldsymbol{B}^{-1}$$

⑤ 转置矩阵合同

若 $\boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B}$，则：

$$\boldsymbol{A}^\mathrm{T} \simeq \boldsymbol{B}^\mathrm{T}$$

有关二次型的结论

若二次型$f(x)=x^{T} A x$经可逆线性变换$x=C y$化为二次型$y^{T} B y$，其中$B=C^{T} A C$，则$A$与$B$合同。

若二次型$f(x)=x^{T} A x$经正交变换$x=Q y$化为二次型$y^{T} B y$，其中$B=Q^{T} A Q=Q^{-1} A Q$，则$A$与$B$合同，且相似。

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八、等价、相似、正交相似、合同四种矩阵关系的对比

8.1 定义对比

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8.2 关系对比表

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8.3 四种关系的包含关系

等价 (最宽泛，仅保秩)
  │
  ├── 相似 (保特征值、行列式、迹)
  │     └── 正交相似 (不仅保相似的全套，还保对称性、保内积)
  │
  └── 合同 (保对称性、秩、惯性指数)
        │
        └── 正交相似 ⊂ 合同 ∩ 相似
              (正交相似既相似又合同)

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8.4 核心结论

记忆口诀：正交相似最强，既相似又合同；相似合同都导出等价，等价关系最宽泛。

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九、二次型理论核心框架总结

二次型 f(x) = xᵀAx  (A 实对称)
    │
    ├── 标准形：只有平方项，矩阵为对角矩阵
    │     └── 通过可逆线性变换 x = Cy 得到
    │           └── 新旧矩阵关系：B = CᵀAC（合同）
    │
    ├── 规范形：平方项系数仅为 +1, -1, 0（实数域唯一）
    │     └── 正惯性指数 p，负惯性指数 q，符号差 p−q
    │           └── 秩 r = p + q
    │
    ├── 惯性定理：p, q 由二次型唯一确定，不依赖于变换方式
    │
    └── 四类矩阵关系：
          ├── 等价 (PAQ = B)：保秩
          ├── 相似 (P⁻¹AP = B)：保特征值、行列式、迹
          ├── 正交相似 (QᵀAQ = B)：既相似又合同
          └── 合同 (CᵀAC = B)：保对称性、秩、惯性指数