《化二次型为标准形》 包括但不限于：

• 配方法化二次型为标准形
• 正交变换法化二次型为标准形
• 实对称矩阵A和B合同的充要条件
  • 有相同的秩和正惯性指数
    • 若实对称矩阵A和B相似，则A与B合同
  • A与B有相同的秩和相同的负惯性指数
  • A与B有相同的正惯性指数和相同的负惯性指数
  • A与B有相同的规范形
  • A与B的正、负特征值个数相等

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化二次型为标准形

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一、配方法化二次型为标准形

1.1 基本思想

通过逐步配方消去交叉项，最终只剩平方项。每次抓住一个变量，将所有含该变量的项集中，配成完全平方，剩余部分不再含该变量。

1.2 两种配方策略

策略一：有平方项时（直接配方）

步骤：

1. 在 $f$ 中选一个系数非零的平方项（如 $a_{11}x_1^2$，其中 $a_{11} \neq 0$）；

2. 将 $f$ 中所有含 $x_1$ 的项集中：$a_{11}x_1^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + \cdots$；

3. 提取 $a_{11}$ 后对 $x_1$ 配方：

   $$a_{11}\left(x_1 + \frac{a_{12}}{a_{11}}x_2 + \frac{a_{13}}{a_{11}}x_3 + \cdots + \frac{a_{1n}}{a_{11}}x_n\right)^2 - \text{（剩余项）}$$

4. 令 $y_1 = x_1 + \frac{a_{12}}{a_{11}}x_2 + \cdots + \frac{a_{1n}}{a_{11}}x_n$，$y_i = x_i$（$i \geqslant 2$）；

5. 剩余部分为仅含 $x_2, \dots, x_n$（不含 $x_1$）的二次型，对剩余部分重复上述步骤。

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策略二：没有平方项时（先制造平方项）

若 $f$ 不含任何平方项（所有 $a_{ii} = 0$），则必存在交叉项，设为 $2a_{12}x_1x_2$（$a_{12} \neq 0$）。

制造平方项的方法：

令：

$$\begin{cases} x_1 = y_1 + y_2 \\ x_2 = y_1 - y_2 \\ x_i = y_i \quad (i \geqslant 3) \end{cases}$$

则 $x_1x_2 = y_1^2 - y_2^2$，出现平方项，再使用策略一。

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1.3 配方法示例

将 $f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2^2 + 4x_2x_3 + 3x_3^2$ 化为标准形。

解：

(1) 集中含 $x_1$ 的项：$x_1^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3$，配方：

$$f = [x_1^2 + 2x_1(x_2 + x_3) + (x_2 + x_3)^2] - (x_2 + x_3)^2 + 2x_2^2 + 4x_2x_3 + 3x_3^2$$ $$= (x_1 + x_2 + x_3)^2 - (x_2^2 + 2x_2x_3 + x_3^2) + 2x_2^2 + 4x_2x_3 + 3x_3^2$$

(2) 合并剩余项：

$$f = (x_1 + x_2 + x_3)^2 + x_2^2 + 2x_2x_3 + 2x_3^2$$

(3) 对 $x_2$ 配方：

$$f = (x_1 + x_2 + x_3)^2 + (x_2^2 + 2x_2x_3 + x_3^2) - x_3^2 + 2x_3^2$$ $$= (x_1 + x_2 + x_3)^2 + (x_2 + x_3)^2 + x_3^2$$

(4) 令：

$$\begin{cases} y_1 = x_1 + x_2 + x_3 \\ y_2 = x_2 + x_3 \\ y_3 = x_3 \end{cases}$$

得标准形：

$$\boxed{f = y_1^2 + y_2^2 + y_3^2}$$

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1.4 配方法的可逆变换矩阵

上述变换可写出 $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{C}\boldsymbol{y}$：

由 $y_3 = x_3 \;\Rightarrow\; x_3 = y_3$，$y_2 = x_2 + x_3 \;\Rightarrow\; x_2 = y_2 - y_3$，$y_1 = x_1 + x_2 + x_3 \;\Rightarrow\; x_1 = y_1 - y_2$，故：

$$\boldsymbol{C} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad |\boldsymbol{C}| = 1 \neq 0$$

一般结论：配方得到的变换矩阵是主对角线全为 1（或非零）的上三角矩阵，必然可逆。

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1.5 配方法的优缺点

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二、正交变换法化二次型为标准形

2.1 基本定理

主轴定理：对于 $n$ 元实二次型 $f(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$（$\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶实对称矩阵），一定存在正交线性变换 $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{Q}\boldsymbol{y}$（$\boldsymbol{Q}$ 为正交矩阵），使得二次型化为标准形：

$$\boxed{f = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2}$$

其中 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的全部特征值（重根按重数出现）。

本质：正交变换法就是实对称矩阵的正交相似对角化在二次型中的应用。

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2.2 完整步骤

第一步：写出二次型的矩阵 $\boldsymbol{A}$

将二次型写成对称矩阵形式 $f = \boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$。

第二步：求 $\boldsymbol{A}$ 的全部特征值

解特征方程 $|\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}| = 0$，得到 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$（重根按重数写出）。

第三步：求每个特征值对应的特征向量

对每个 $\lambda_i$，求解 $(\lambda_i \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A})\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$，得到基础解系。

第四步：施密特正交化（仅重特征值需要）

对每个重特征值的多个特征向量进行施密特正交化，使它们两两正交。

注意：不同特征值对应的特征向量自动正交，无需处理。

第五步：单位化

将所有正交化后的特征向量逐个单位化：

$$\boldsymbol{\eta}_i = \frac{\boldsymbol{\beta}_i}{\|\boldsymbol{\beta}_i\|}$$

得到 $n$ 个标准正交的特征向量 $\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \dots, \boldsymbol{\eta}_n$。

第六步：构造正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 并写出标准形

将 $\boldsymbol{\eta}_1, \dots, \boldsymbol{\eta}_n$ 按列排成正交矩阵：

$$\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \dots, \boldsymbol{\eta}_n)$$

则正交变换为 $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{Q}\boldsymbol{y}$，在此变换下：

$$\boxed{f = \boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{y}^\mathrm{T}(\boldsymbol{Q}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q})\boldsymbol{y} = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2}$$

关键：特征值在标准形中的排列顺序必须与 $\boldsymbol{Q}$ 中对应特征向量的排列顺序一致。

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2.3 完整示例

将 $f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3$ 用正交变换法化为标准形。

第一步：写出矩阵

$$f = (x_1, x_2, x_3)\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

第二步：求特征值

$$|\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}| = \begin{vmatrix} \lambda & -1 & -1 \\ -1 & \lambda & -1 \\ -1 & -1 & \lambda \end{vmatrix}$$

各行和相等（均为 $\lambda - 2$），将第 2、3 列加到第 1 列：

$$= \begin{vmatrix} \lambda-2 & -1 & -1 \\ \lambda-2 & \lambda & -1 \\ \lambda-2 & -1 & \lambda \end{vmatrix} = (\lambda-2)\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & \lambda & -1 \\ 1 & -1 & \lambda \end{vmatrix}$$ $$= (\lambda-2)\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & \lambda+1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda+1 \end{vmatrix} = (\lambda-2)(\lambda+1)^2$$

特征值：$\lambda_1 = 2$（单根），$\lambda_2 = \lambda_3 = -1$（二重根）。

第三步：求特征向量

对 $\lambda_1 = 2$：

$$(2\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}) = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

同解方程：$x_1 = x_3,\; x_2 = x_3$。取 $x_3 = 1$：

$$\boldsymbol{\alpha}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

对 $\lambda_2 = -1$（二重）：

$$(-1\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}) = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

同解方程：$x_1 + x_2 + x_3 = 0$，即 $x_1 = -x_2 - x_3$。自由变量 $x_2, x_3$。依次取 $(1, 0)$ 和 $(0, 1)$：

$$\boldsymbol{\alpha}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{\alpha}_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

第四步：施密特正交化（对 $\lambda = -1$ 的两个特征向量）

验证：$(\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3) = 1 \neq 0$，不正交，需正交化。

$$\boldsymbol{\beta}_2 = \boldsymbol{\alpha}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $$\boldsymbol{\beta}_3 = \boldsymbol{\alpha}_3 - \frac{(\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_2)}{(\boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_2)}\boldsymbol{\beta}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix}$$

验证：$(\boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3) = 0$ ✓。

$\boldsymbol{\alpha}_1$ 与 $\boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 已自动正交（不同特征值），无需处理。

第五步：单位化

$$\|\boldsymbol{\alpha}_1\| = \sqrt{3} \;\Longrightarrow\; \boldsymbol{\eta}_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ $$\|\boldsymbol{\beta}_2\| = \sqrt{2} \;\Longrightarrow\; \boldsymbol{\eta}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $$\|\boldsymbol{\beta}_3\| = \frac{\sqrt{6}}{2} \;\Longrightarrow\; \boldsymbol{\eta}_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

第六步：写出正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 和标准形

$$\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \boldsymbol{\eta}_3) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}$$

在正交变换 $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{Q}\boldsymbol{y}$ 下，标准形为：

$$\boxed{f = 2y_1^2 - y_2^2 - y_3^2}$$

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2.4 正交变换法的核心优势

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三、配方法与正交变换法的对比

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四、实对称矩阵合同的充要条件

4.1 合同的核心判定定理

两个 $n$ 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 合同的充要条件有以下几个等价表述：

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4.2 充要条件一：相同的秩和正惯性指数

$$\boxed{\boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B} \;\Longleftrightarrow\; r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{B}) \;\text{且}\; p(\boldsymbol{A}) = p(\boldsymbol{B})}$$

其中 $p$ 为正惯性指数。

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4.3 充要条件二：相同的秩和负惯性指数

$$\boxed{\boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B} \;\Longleftrightarrow\; r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{B}) \;\text{且}\; q(\boldsymbol{A}) = q(\boldsymbol{B})}$$

其中 $q$ 为负惯性指数。

注：由 $r = p + q$，条件一和条件二等价（秩同 + 正惯性指数同 $\iff$ 秩同 + 负惯性指数同）。

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4.4 充要条件三：相同的正惯性指数和负惯性指数

$$\boxed{\boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B} \;\Longleftrightarrow\; p(\boldsymbol{A}) = p(\boldsymbol{B}) \;\text{且}\; q(\boldsymbol{A}) = q(\boldsymbol{B})}$$

该条件自动蕴含秩相等（$r = p + q$），故无需单独提秩。

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4.5 充要条件四：相同的规范形

$$\boxed{\boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B} \;\Longleftrightarrow\; \boldsymbol{A} \text{ 与 } \boldsymbol{B} \text{ 有相同的规范形}}$$

即两者均可通过合同变换化为同一个矩阵：

$$\begin{pmatrix} \boldsymbol{E}_p & & \\ & -\boldsymbol{E}_q & \\ & & \boldsymbol{0} \end{pmatrix}$$

惯性定理保证规范形由 $p, q$ 唯一确定，因此规范形相同 $\Longleftrightarrow$ $p, q$ 相同。

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4.6 充要条件五：正负特征值个数相等

$$\boxed{\boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B} \;\Longleftrightarrow\; \boldsymbol{A} \text{ 与 } \boldsymbol{B} \text{ 的正特征值个数相等，负特征值个数相等，零特征值个数也相等}}$$

解释：实对称矩阵的特征值全为实数，正特征值的个数 = 正惯性指数 $p$，负特征值的个数 = 负惯性指数 $q$，零特征值的个数 = $n - r$。三者全对应相等即合同。

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4.7 相似 $\Rightarrow$ 合同（实对称矩阵情形）

特别结论：若 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 都是实对称矩阵，且 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$（相似），则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 必合同。

原因：实对称矩阵相似 $\Rightarrow$ 特征值全相同 $\Rightarrow$ 正、负、零特征值个数相同 $\Rightarrow$ 合同。

但反之不然：合同不一定相似（合同只要求惯性指数相同，不要求特征值具体数值相同）。例如 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 与 $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ 合同但不相似。

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4.8 充要条件汇总表

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五、化二次型为标准形的方法选用指南

需要化二次型为标准形
        │
        ├── 只需要标准形、不计较变换类型
        │     └── 配方法（简单快捷）
        │
        ├── 需要特征值、做正交变换
        │     └── 正交变换法
        │
        ├── 需要判断二次型的正定性
        │     └── 配方法 or 正交变换法均可
        │
        └── 需要求正交矩阵 Q
              └── 正交变换法（唯一选择）