1.1映射

1.1.1概念

映射

定义

给定两个集合 A 和 B，一个映射 f 从 A 到 B 记作： f:A→B  表示对于 A 中的每一个元素 a，都存在唯一一个 B 中的元素 b 与之对应 记作： f(a)=b 

字母表示

其中：

• A 称为定义域（Domain），即输入的集合。
• $D_f \text（记作定义域）$
• B 称为陪域（Codomain），即可能的输出的集合。
• f(A)={f(a)∣a∈A}称为值域，即实际的输出集合，显然 f(A)⊆B。$R_{f}\text{(记作值域)} \quad R_{f}={\{f(x)\mid x \in X \}}$
• （映射）f：（原象）X——>（像）Y

三要素

映射三要素：定义域、值域、对应法则

单射

“不同元素的像必不同”

定义

若对映射$f: A \to B$，任意 $x_1, x_2 \in A$，只要 $x_1 \neq x_2$，就有 $f(x_1) \neq f(x_2)$，则称 f 是单射

直观理解

每个输出值对应最多一个输入值，即”一个y最多对应一个x”。

满射

设函数 $f: A \to B$ ，如果对于任意 $b \in B$ ，都存在 $a \in A$ 使得 $f(a) = b$ ，则称 $f$ 为满射函数

双射

若一个函数既是单射又是满射，则称为双射函数（或一一对应）。 双射函数必定存在反函数。

1.1.2逆映射

概念

给定一个映射（或称函数）f:A→B，如果存在另一个映射 g:B→A 能够“撤销” f 的作用，即满足以下两个条件：

1. ∀a∈A,g(f(a))=a
2. ∀b∈B,f(g(b))=b

那么 g 被称为 f 的逆映射，记作 $f^{-1}$

tips：类似于反函数，原映射的定义域和值域是其逆映射的值域和定义域

成立条件

原映射是单射

1.1.3复合映射

定义

给定两个映射 f:A→B 和 g:B→C，它们的复合映射 g∘f 是一个从 A 到 C 的映射。定义为：(g∘f)(x)=g(f(x))对所有x∈A 这里，∘ 表示复合运算，读作“复合”或“圈”。

要求

定义域与陪域匹配：为了能够定义 g∘f，必须满足 f 的陪域 B 与 g 的定义域 B 相同（或至少 f 的值域包含在 g 的定义域内）。