《常数项级数的敛散性判断》 包括但不限于：

• 正项级数的性质
  • 部分和数列单调递增
• p级数的定义和性质
• 正项级数的敛散性判断
  • 部分和数列有界
  • 第n项不趋于零则发散
• 常见级数的敛散性
  • 发散的级数
  • 收敛的级数
  • 
• 比较审敛法
  • 两个正项级数，一个小于一个。
    • 大的收敛，小的也收敛
    • 小的发散，大的也发散
  • 用法：放缩后判别
• 比较审敛法的极限形式
  • 两个正项级数第n项作分式取极限，结果是一个确定的非零的数，则两个正项级数有相同的敛散性
  • 分母级数收敛，分式结果是零，则分子级数收敛
  • 分母级数发散，分式结果是正无穷，则分子级数发散
  • 用法：找一个已知敛散性级数放分母上构成分式取极限后判别
• 比值审敛法
  • 正项级数n+1项和n项作分式的比值和1比较
  • 调和级数不能用此方法
• 根植判别法
  • 对正项级数n项开n次方取极限后和1比较
  • 用于级数通项有n次的正项级数
• 交错级数的定义
• 交错级数的性质
  • 莱布尼兹定理判定收敛
• 绝对收敛与条件收敛
  • 用于任意项级数
  • 级数收敛，取绝对值后也收敛-级数绝对收敛
    • 可以证明取绝对值后的正项级数收敛来说明原级数收敛
  • 级数收敛，但取绝对值后发散-级数条件收敛

---

常数项级数的敛散性判断

---

一、正项级数的性质

1.1 定义

若级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 中每一项 $u_n \ge 0$，则称该级数为正项级数。

---

1.2 部分和数列的单调性

🔑 核心性质：正项级数的部分和数列 $\{S_n\}$ 单调递增。

$$S_{n+1} - S_n = u_{n+1} \ge 0 \;\Longrightarrow\; S_1 \le S_2 \le S_3 \le \cdots$$

这意味着正项级数的部分和数列要么：

• 有上界 $\Rightarrow$ 收敛（单调有界必收敛）；
• 无界 $\Rightarrow$ 发散到 $+\infty$。

📌 此性质是正项级数所有审敛法的理论基础。

---

二、$p$-级数的定义与性质

2.1 定义

$$\boxed{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} = 1 + \frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} + \cdots + \frac{1}{n^p} + \cdots}$$

其中 $p > 0$ 为常数。

---

2.2 敛散性结论

🎯 $p$-级数是比较审敛法中最重要的参照级数之一。

---

三、正项级数的敛散性判断

3.1 正项级数收敛的充要条件

定理：正项级数 $\displaystyle\sum u_n$ 收敛 $\Longleftrightarrow$ 其部分和数列 $\{S_n\}$ 有上界。

（由单调有界准则直接得到。）

---

3.2 收敛的必要条件（对所有级数均成立）

若 $\displaystyle\sum u_n$ 收敛，则 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} u_n = 0$。

⚠️ 若 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} u_n \ne 0$ 或不存在，则级数必定发散。

---

四、常见级数的敛散性速查

4.1 发散级数

---

4.2 收敛级数

---

五、比较审敛法

5.1 基本形式

设 $\displaystyle\sum u_n$ 和 $\displaystyle\sum v_n$ 均为正项级数，且存在正整数 $N$，当 $n > N$ 时恒有 $u_n \le v_n$。

📌 口诀：大收则小收，小散则大散。

---

5.2 用法

核心操作：将原级数一般项 $u_n$ 进行放缩，与已知敛散性的级数（通常为 $p$-级数或几何级数）比较。

步骤：

1. 观察 $u_n$ 的「主要部分」（忽略常数因子和低阶项）；
2. 放大或缩小 $u_n$，使其一般项接近某个已知级数；
3. 应用比较审敛法得出结论。

例：判断 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+1}$ 的敛散性。

因为 $\dfrac{1}{n^2+1} \le \dfrac{1}{n^2}$，而 $\displaystyle\sum\frac{1}{n^2}$ 收敛（$p=2>1$），故原级数收敛。

---

六、比较审敛法的极限形式

6.1 定理

设 $\displaystyle\sum u_n$ 和 $\displaystyle\sum v_n$ 均为正项级数，且

$$\lim_{n\to\infty} \frac{u_n}{v_n} = \rho \quad (0 \le \rho \le +\infty)$$

---

6.2 用法

步骤：

1. 找出 $u_n$ 的主阶（$n \to \infty$ 时的等价无穷小）；
2. 取 $v_n = \dfrac{1}{n^p}$（或已知敛散性的级数），使 $\lim \dfrac{u_n}{v_n} =$ 非零常数；
3. 根据 $v_n$ 的敛散性得出结论。

例：判断 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1}{n^3+2n}$ 的敛散性。 当 $n\to\infty$ 时，$u_n \sim \dfrac{2n}{n^3} = \dfrac{2}{n^2}$。取 $v_n = \dfrac{1}{n^2}$（收敛 $p$-级数），

$$\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{2n+1}{n^3+2n}}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n\to\infty} \frac{2n^3 + n^2}{n^3+2n} = 2 \in (0,+\infty)$$

因 $\sum \dfrac{1}{n^2}$ 收敛，故原级数收敛。

---

七、比值审敛法（达朗贝尔判别法）

7.1 定理

设 $\displaystyle\sum u_n$ 为正项级数（$u_n > 0$），且

$$\lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho \quad (\text{或 } \rho = +\infty)$$

---

7.2 适用场景与失效情况

✅ 适用：一般项中含有 $n!$、$a^n$、$n^n$ 等因子时。

❌ 失效（$\rho = 1$ 无法判定）：

• 调和级数 $\displaystyle\sum\frac{1}{n}$：$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{n}{n+1} \to 1$，但调和级数发散；
• $\displaystyle\sum\frac{1}{n^2}$：$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{n^2}{(n+1)^2} \to 1$，但级数收敛；
• 因此当 $\rho = 1$ 时，比值法彻底失效，需改用比较法。

---

八、根植审敛法（柯西判别法）

8.1 定理

设 $\displaystyle\sum u_n$ 为正项级数（$u_n \ge 0$），且

$$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{u_n} = \rho \quad (\text{或 } \rho = +\infty)$$

---

8.2 适用场景

✅ 特别适用：一般项 $u_n$ 中含有 $n$ 次方因子，如 $(a_n)^n$、$\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{n^2}$ 等。

例：判断 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}$ 的敛散性。

$$\sqrt[n]{u_n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^n \to e^{-1} = \frac{1}{e} < 1$$

故级数收敛。

---

九、交错级数的定义

9.1 定义

各项符号正负交替的级数称为交错级数。标准形式为：

$$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n = u_1 - u_2 + u_3 - u_4 + \cdots \quad (u_n > 0)$$

或

$$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n u_n = -u_1 + u_2 - u_3 + u_4 - \cdots$$

---

9.2 莱布尼兹判别法

定理（莱布尼兹判别法）：若交错级数 $\displaystyle\sum (-1)^{n-1} u_n$（$u_n > 0$）满足两个条件：

1. 单调递减：$u_n \ge u_{n+1}$（即 $u_1 \ge u_2 \ge u_3 \ge \cdots$）；
2. 趋于零：$\displaystyle\lim_{n\to\infty} u_n = 0$；

则该交错级数收敛，且其和 $S \le u_1$，余项 $\lvert R_n \rvert \le u_{n+1}$。

---

9.3 注意事项

• 两个条件缺一不可。若只满足趋于零但不单调递减，可能发散；
• 若单调递减但不趋于零，必定发散（必要条件不满足）；
• 莱布尼兹判别法只判定收敛，不涉及绝对收敛还是条件收敛。

经典例子：

• $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$ 满足莱布尼兹条件，收敛（条件收敛）。
• $\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}$ 不单调，莱布尼兹法失效。

---

十、绝对收敛与条件收敛

10.1 定义

对于任意项级数 $\displaystyle\sum u_n$（$u_n$ 可正可负），考察其绝对值级数 $\displaystyle\sum \lvert u_n \rvert$：

---

10.2 重要定理

定理：若 $\displaystyle\sum \lvert u_n \rvert$ 收敛，则 $\displaystyle\sum u_n$ 必收敛。

即：绝对收敛 $\Rightarrow$ 收敛。

🎯 应用：可通过对绝对值级数（正项级数）使用各种审敛法，来证明原级数收敛。

---

10.3 任意项级数的审敛策略

任意项级数 ∑uₙ
    ├── 检查必要条件：uₙ → 0？否 → 发散
    ├── 尝试判断绝对收敛：
    │   ├── 对 ∑|uₙ| 使用比值法、根值法、比较法
    │   └── 若 ∑|uₙ| 收敛 → 原级数绝对收敛（同时也收敛）
    └── 若 ∑|uₙ| 发散：
        ├── 若是交错级数 → 用莱布尼兹判别法
        └── 否则用定义或柯西审敛原理

---

10.4 绝对收敛与条件收敛的性质对比

---

十一、审敛法选择流程图

正项级数 ∑uₙ
    │
    ├── uₙ → 0？否 → 发散（必要条件）
    │
    ├── 一般项含 n!、aⁿ、nⁿ？
    │   └── 是 → 比值审敛法（或根值审敛法）
    │
    ├── 一般项含 (·)ⁿ？
    │   └── 是 → 根值审敛法
    │
    ├── 一般项为有理式或可比较？
    │   └── 是 → 比较审敛法（极限形式）
    │        ├── 找等价无穷小 ~ C/nᵖ
    │        ├── p > 1 → 收敛
    │        └── p ≤ 1 → 发散
    │
    └── 上述失效 → 部分和有界性 / 积分判别法

交错级数 ∑(-1)ⁿ⁻¹uₙ
    │
    ├── uₙ 单调递减且趋于零？
    │   ├── 是 → 收敛（莱布尼兹）
    │   └── 否 → 用一般审敛法
    │
    └── 再判断绝对/条件收敛

任意项级数 ∑uₙ
    │
    └── 先判断 ∑|uₙ| 是否收敛
         ├── 是 → 原级数绝对收敛
         └── 否 → 再用其他方法判断原级数收敛性