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10.3幂级数

什么是”和函数”？

在高等数学中，和函数通常指幂级数（或更一般的函数项级数）在收敛域内所定义的函数。具体来说，给定一个幂级数：

∑n=0∞an(x−c)n\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n

如果它在某个区间上收敛，那么对于这个区间内的每一个 xx，级数都有一个确定的和。这个和随 xx 变化，就形成了一个函数，记为 S(x)S(x)，称为该幂级数的 和函数[4]。

换句话说：

和函数 S(x)S(x) 就是用级数定义的函数，它的定义域就是级数的收敛域[1]。

幂级数的和函数：基本性质

1. 收敛半径与定义域

根据 阿贝尔定理，幂级数 ∑an(x−c)n\sum a_n (x-c)^n 存在一个收敛半径 R≥0R \ge 0（可能为 +∞+\infty），使得：

  • 当 ∣x−c∣<R|x-c| < R 时，级数绝对收敛；
  • 当 ∣x−c∣>R|x-c| > R 时，级数发散；
  • 端点处需要单独判断[1]。

因此和函数的自然定义域就是区间 (c−R,c+R)(c-R, c+R)（可能包含端点）。

2. 三大核心性质

在收敛区间内部，和函数有以下性质[1]：

  1. 连续性：S(x)S(x) 在收敛区间内处处连续。
  2. 可逐项微分： S′(x)=∑n=1∞nan(x−c)n−1S'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n (x-c)^{n-1} 且新级数的收敛半径不变。
  3. 可逐项积分： ∫0xS(t) dt=∑n=0∞ann+1xn+1+C\int_0^x S(t)\, dt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1} + C 且新级数的收敛半径不变。

这三条是求和函数的根本工具。

如何求幂级数的和函数？

绝大多数幂级数求和，归根到底都是从等比级数这个起点出发的[1]：

∑n=0∞xn=11−x,∣x∣<1\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}, \quad |x| < 1

常用技巧路线图

（1）直接识别法

如果题目直接是 ∑xn\sum x^n 或 ∑(−1)nxn\sum (-1)^n x^n 等，直接套公式。

（2）逐项微分法

当系数含 nn 时，考虑对已知级数求导去掉 nn。

例：求 ∑n=1∞nxn−1\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}。 注意到 (∑n=0∞xn)′=(11−x)′\left( \sum_{n=0}^{\infty} x^n \right)' = \left( \frac{1}{1-x} \right)'，得：

∑n=1∞nxn−1=1(1−x)2,∣x∣<1\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}, \quad |x|<1

（3）逐项积分法

当系数含 1n\frac{1}{n} 时，考虑先积分再求导。

例：求 ∑n=1∞xnn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}。 记 S(x)=∑n=1∞xnnS(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}，则 S′(x)=∑n=1∞xn−1=11−xS'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1} = \frac{1}{1-x}。 再积分回去：

S(x)−S(0)=∫0x11−tdt=−ln⁡(1−x)S(x) - S(0) = \int_0^x \frac{1}{1-t} dt = -\ln(1-x)

故 S(x)=−ln⁡(1−x)S(x) = -\ln(1-x)，其中 ∣x∣<1|x|<1（端点再单独判断）。

为什么用定积分（变上限积分）而不用不定积分？

从数学上讲，不定积分当然也是对的，但用变上限积分更直接、更“自动”。原因有三：

1. 微积分基本定理的自然形式

已知 S′(x)=11−xS'(x) = \frac{1}{1-x}，根据 N-L 公式：

S(x)−S(0)=∫0xS′(t) dt=∫0x11−t dtS(x) - S(0) = \int_{0}^{x} S'(t)\, dt = \int_{0}^{x} \frac{1}{1-t}\, dt

这里积分下限取 x=0x=0，是因为幂级数的中心点是 00。在中心点处，级数的和可以直接读出（通常 S(0)=a0S(0)=a_0），不需要额外计算。比如我们正在求的级数：

S(x)=∑n=1∞xnnS(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}

显然 S(0)=0S(0) = 0。所以上式直接给出 S(x)=−ln⁡(1−x)S(x) = -\ln(1-x)。

2. 避免“ +C+C 的困惑”

如果用不定积分：

S(x)=∫11−x dx=−ln⁡(1−x)+CS(x) = \int \frac{1}{1-x}\, dx = -\ln(1-x) + C

然后你需要用 S(0)=0S(0)=0 回代确定 CC：

0=−ln⁡(1−0)+C  ⟹  C=00 = -\ln(1-0) + C \implies C = 0

变上限积分把这一步“自动”完成了，写出来就是 S(x)=S(0)+∫0xS′(t) dtS(x) = S(0) + \int_0^x S'(t)\,dt。

3. 与幂级数逐项积分定理的表述一致

幂级数逐项积分定理的标准陈述是：

∑n=0∞anxn+1n+1=∫0x(∑n=0∞antn)dt\sum_{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^{n+1}}{n+1} = \int_0^x \left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n \right) dt

这里的积分下限一定是 中心点（这里是 0）。定理本身就保证了变上限积分后的级数收敛半径不变，且和函数连续。如果你直接写“不定积分”，虽然结果一样，但缺乏定理形式上的直接保证。

总结一句

用 ∫0x\int_0^x 不是必须，但它直接体现了原函数 + 初值的思路，并且与幂级数逐项积分的标准定理完全对应。不定积分也正确，但多一步确定常数 CC。习惯上，大家统一用变上限积分，清晰又安全。

如果你想，我可以把不定积分的步骤也完整写出来对比一下。

（4）构造 xkx^k 因子法

有时需要先提出或凑入 xkx^k 以匹配已知展开式。

（5）拆项法

将级数拆成几个已知和函数的级数之和。

常见和函数速查表

幂级数和函数收敛域
∑n=0∞xn\sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n11−x\dfrac{1}{1-x}x<1x<1
∑n=0∞xnn!\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}exe^xR\mathbb{R}
∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}sin⁡x\sin xR\mathbb{R}
∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}cos⁡x\cos xR\mathbb{R}
∑n=1∞(−1)n−1xnn\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}ln⁡(1+x)\ln(1+x)(−1,1](-1,1]
∑n=0∞(−1)nx2n+12n+1\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}arctan⁡x\arctan x[−1,1][-1,1]
∑n=0∞(αn)xn\sum\limits_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n(1+x)α(1+x)^\alphax<1x<1（端点视 α\alpha 而定）

这些就是把函数“展开成幂级数”的另一个方向。已知函数可展开为幂级数，其部分和就是多项式逼近；反过来，给一个幂级数，我们求它的和函数就是把这些多项式的“极限”写成一个封闭的初等函数表达式[1][4]。

一句话总结

和函数 = 幂级数（或函数项级数）在收敛域内定义的函数 S(x)S(x)。 求它，本质上是把无穷级数“压缩”成有限表达式的过程；工具是逐项微分、逐项积分，出发点几乎永远是等比级数。

如果你想看某个具体例子（比如 ∑n2xn\sum n^2 x^n 怎么求），我可以详细写出每一步。

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