多元函数的极限定义是啥

（以二元函数为例） 设二元函数 z=f(x,y) 在点 P0(x0,y0) 的某去心邻域内有定义，A 为常数。 如果对任意给定的正数 ε，总存在正数 δ，使得对满足0<(x−x0)2+(y−y0)2<δ的一切点 P(x,y)，都有∣f(x,y)−A∣<ε 则称 A 为函数 f(x,y) 当 (x,y)→(x0,y0) 时的二重极限，记作lim(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=A

也就是从四面八方去趋近于一个点的时候，这个点所对应的函数值极限是一样的

多元函数的连续性和可微性与极限有什么关系

连续性

在点 (x0,y0) 连续⟺lim(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0)

• 要求两件事：
  1. 二重极限 存在
  2. 极限值 = 函数值 和一元函数是一样的。

可微性

在点 (x0,y0) 可微⟹在该点连续

• 可微的定义本身就用到极限： $Δz=AΔx+BΔy+o(ρ),ρ=\sqrt{(Δx)^2+(Δy)^2}$ 本质就是： limρ→0ρΔz−AΔx−BΔy=0
• 所以：可微 ⇒ 连续 ⇒ 极限存在
• 但：连续 ≠ 可微，极限存在 ≠ 可微