定义

1. 一元向量值函数的定义

设 $I$ 为实数区间，若对任意 $t\in I$，都唯一确定一个 $n$ 维向量 $\boxed{r}(t)=\big(f_1(t),f_2(t),\dots,f_n(t)\big)$ 则称 $\boxed{r}(t)$ 为定义在 $I$ 上的一元向量值函数。 分量 $f_1(t),\dots,f_n(t)$ 都是普通一元函数。 $\boxed{r}(t)=\big(x(t),\,y(t),\,z(t)\big)$ $\boxed{r}(t)$ 的终点轨迹是空间中的一条曲线，因此向量值函数也叫曲线的向量方程。

1. 极限定义

设 $\boxed{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$，若 $\lim_{t\to t_0}x(t)=x_0,\quad \lim_{t\to t_0}y(t)=y_0,\quad \lim_{t\to t_0}z(t)=z_0$ 则称 $\lim_{t\to t_0}\boxed{r}(t)=(x_0,y_0,z_0)$ 一句话：向量极限 = 各分量分别求极限。

2. 连续性

$\boxed{r}(t)$ 在 $t_0$ 连续 $\iff \lim_{t\to t_0}\boxed{r}(t)=\boxed{r}(t_0)$ 等价于：每个分量函数都在 $t_0$ 连续。

导数（导向量）

1. 定义

$\boxed{r}'(t)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\boxed{r}(t+\Delta t)-\boxed{r}(t)}{\Delta t}$ 若极限存在，称 $\boxed{r}(t)$ 在 $t$ 处可导，极限值为导向量。

导向量的几何意义

设 $\boxed{r}(t)$ 是空间曲线 $C$ 的向量方程。

1. 导向量 $\boxed{r}'(t)$ 是曲线在该点的切向量
2. 若 $\boxed{r}'(t_0)\neq\boxed{0}$，则曲线在 $t_0$ 处有切线
3. 切线方向向量： $\boxed{T}=\boxed{r}'(t_0)=\big(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0)\big)$

2. 分量求导公式（最重要）

$\boxed{r}'(t)=\big(x'(t),\,y'(t),\,z'(t)\big)$ 向量求导 = 各分量分别求导。

3. 高阶导数

$\boxed{r}''(t)=\big(x''(t),y''(t),z''(t)\big)$ 以此类推。