曲面的切平面与法线（知识点总结）

曲面的三种表示形式

1. 隐式方程 $F(x,y,z)=0$
2. 显式方程 $z=f(x,y)$
3. 参数方程 $\begin{cases} x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v) \end{cases}$

隐式曲面 $F(x,y,z)=0$ 的切平面与法线

设曲面 $F(x,y,z)=0$ 在点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 处可微，且梯度 $\nabla F(M_0)=(F_x,F_y,F_z)\big|_{M_0}\neq\mathbf{0}$。

1. 法向量

$$n=(F_x(x_0,y_0,z_0),\ F_y(x_0,y_0,z_0),\ F_z(x_0,y_0,z_0))$$

2. 切平面方程

$$F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0) +F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0) +F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$$

3. 法线方程

$$\frac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)} =\frac{y-y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)} =\frac{z-z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)}$$

显式曲面 $z=f(x,y)$ 的切平面与法线

可视为隐式曲面 $F(x,y,z)=f(x,y)-z=0$。

1. 法向量

$$n=(f_x(x_0,y_0),\ f_y(x_0,y_0),\ -1)$$

2. 切平面方程

$$z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$$

3. 法线方程

$$\frac{x-x_0}{f_x(x_0,y_0)} =\frac{y-y_0}{f_y(x_0,y_0)} =\frac{z-z_0}{-1}$$

参数形式曲面的切平面与法线

设曲面向量方程为 $r(u,v)=(x(u,v),\ y(u,v),\ z(u,v))$。 在点 $(u_0,v_0)$ 处，记两个切向量： $r_u=(x_u,y_u,z_u),\quad r_v=(x_v,y_v,z_v)$

1. 法向量

$$n=r_u\times r_v$$

2. 切平面方程

$(r-r_0)\cdot(r_u\times r_v)=0$ 坐标形式：

$$\begin{vmatrix} x-x_0 & y-y_0 & z-z_0\\ x_u & y_u & z_u\\ x_v & y_v & z_v \end{vmatrix}=0$$

3. 法线方程

$$\frac{x-x_0}{ \begin{vmatrix}y_u&z_u\\y_v&z_v\end{vmatrix} } =\frac{y-y_0}{ \begin{vmatrix}z_u&x_u\\z_v&x_v\end{vmatrix} } =\frac{z-z_0}{ \begin{vmatrix}x_u&y_u\\x_v&y_v\end{vmatrix} }$$

五、重要结论与考点

1. 切平面存在的条件： $F(x,y,z)$ 在 $M_0$ 可微，且 $\nabla F(M_0)\neq 0$。
2. 显式曲面 $z=f(x,y)$ 的法向量方向： 可取 $(f_x,f_y,-1)$ 或 $(-f_x,-f_y,1)$。
3. 两曲面的夹角 两曲面在交点处的夹角等于它们法向量的夹角 $\theta$： $\cos\theta=\frac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1|\cdot|n_2|}$
4. 曲面与曲线的关系 若曲线在曲面上，则曲线在该点的切向量 $\tau$ 与曲面法向量 $n$ 垂直： $\tau\cdot n=0$

六、速记对照

隐式 $F(x,y,z)=0$ 法向量：$n=(F_x,F_y,F_z)$ 切平面：$F_x(x-x_0)+F_y(y-y_0)+F_z(z-z_0)=0$ 法线：$\dfrac{x-x_0}{F_x}=\dfrac{y-y_0}{F_y}=\dfrac{z-z_0}{F_z}$

显式 $z=f(x,y)$ 法向量：$n=(f_x,f_y,-1)$ 切平面：$z-z_0=f_x(x-x_0)+f_y(y-y_0)$ 法线：$\dfrac{x-x_0}{f_x}=\dfrac{y-y_0}{f_y}=\dfrac{z-z_0}{-1}$