一、方向导数

1. 定义

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P(x,y)$ 的某一邻域内有定义， $l$ 为从 $P$ 出发的射线（是有方向的）， $\boldsymbol e_l=(\cos\alpha,\cos\beta)$ 为与 $l$ 同方向的单位向量，则函数在点 $P$ 沿方向 $l$ 的方向导数为：

\frac{\partial f}{\partial l}=\lim\limits_{t\to0^+}\frac{f(x+t\cos\alpha,y+t\cos\beta)-f(x,y)}{t}

三元函数 $u=f(x,y,z)$ 沿方向 $\boldsymbol e_l=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 的方向导数：

\frac{\partial u}{\partial l}=\lim\limits_{t\to0^+}\frac{f(x+t\cos\alpha,y+t\cos\beta,z+t\cos\gamma)-f(x,y,z)}{t}

2. 计算公式

若函数在点处可微，则方向导数存在，且

二元：

\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial f}{\partial y}\cos\beta

三元：

\frac{\partial u}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial f}{\partial y}\cos\beta+\frac{\partial f}{\partial z}\cos\gamma

3. 几何意义

描述函数在某点沿指定方向变化的快慢，是函数在该点沿该方向的变化率。是一个数。

二、梯度

1. 定义

函数在某点的梯度是一个向量，由各偏导数构成：

二元函数 $z=f(x,y)$ 的梯度：

\mathrm{grad}\,f=\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)

三元函数 $u=f(x,y,z)$ 的梯度：

\mathrm{grad}\,f=\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)

%% 其中 $\nabla$ 为哈密顿算子。

2. 梯度与方向导数的关系

方向导数可表示为梯度与方向单位向量的点积：

\frac{\partial f}{\partial l}=\mathrm{grad}\,f\cdot\boldsymbol e_l =|\mathrm{grad}\,f|\cos\theta

$\theta$ 为梯度与方向 $l$ 的夹角。

3. 梯度的核心性质

方向：梯度方向是函数在该点增长最快的方向；负梯度方向是函数下降最快的方向。
模长：梯度的模 $|\mathrm{grad}\,f|$ 是该点最大方向导数的值。
与等高线/等值面的关系：梯度方向垂直于过该点的等高线（或等值面），并指向函数值增大的一侧。

三、方向导数与梯度的对比总结

方向导数是标量，表示某一特定方向的变化率；
梯度是向量，包含了所有方向上变化率的信息；
可微时，任意方向的方向导数都可由梯度与单位方向向量点积得到；
梯度的方向对应最大方向导数的方向，模为最大变化率大小。

四、等值线（等高线）

定义

对于二元函数 $z=f(x,y)$ ，取函数值为常数 $C$ ，则满足 $f(x,y)=C$ 的点 $(x,y)$ 在 $xOy$ 平面上构成的曲线，称为函数 $z=f(x,y)$ 的等值线（也叫等高线）。 %%三元函数 $u=f(x,y,z)$ 中，满足 $f(x,y,z)=C$ 的曲面称为等值面。%% %%

等值线的方程与切线斜率

等值线 $f(x,y)=C$ 是一条隐函数曲线。两边对 $x$ 求导： $\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot y'=0$ 得等值线在点 $(x,y)$ 处的切线斜率： $y'=-\frac{f_x}{f_y}$ %%

等值线的法向量

等值线 $f(x,y)=C$ 在点 $(x,y)$ 处的法向量为： $\boldsymbol n=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)$ 这恰好就是梯度 $\mathrm{grad}\,f$ 。

梯度与等值线的关系

梯度方向垂直于等值线 梯度 $\nabla f$ 是等值线 $f(x,y)=C$ 在该点的法向量方向。
梯度指向函数值增大的一侧 沿着梯度方向走，函数值 $f(x,y)$ 会递增；逆着梯度方向走，函数值递减。
几何直观 - 等值线越密集的地方，函数变化越剧烈，梯度模 $|\nabla f|$ 越大； - 等值线越稀疏的地方，函数变化越平缓，梯度模越小。 %%

等值面（三元）

对于三元函数 $u=f(x,y,z)$ ，等值面方程： $f(x,y,z)=C$ 其法向量同样为梯度： $\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)$ 即：梯度垂直于等值面，并指向 $u$ 增大的一侧。 %%

当时的学习问题

空间函数的某点梯度是不是代表了切平面的方向空间函数的梯度不是一个二维向量吗？怎么是法向量那梯度本身也代表了切平面的方向吧，虽然它是二维我知道它不在切平面上，但是它的大小和方向能反映出切平面的方向有点像角速度的大小和方向虽然和旋转的方向不同但能反映出旋转的方向和快慢对三维函数某一个点求全微分，实际上是对这个点求x轴y轴角平分线方向的方向导数乘dt吗？三维函数的全微分是不是和两个偏微分的和一样梯度和两个偏导的关系是啥？从几何方面解释两个偏导构成的向量为啥就指向了最“陡”的方向？ %%