7.5多元函数的极值 · 未命名书册

什么是多元函数的极值呢
- 粗略：一个点比周围的点都大（小），这个点就是个极值点。
- 详细：设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某邻域 $U\left(P_{0}\right)$ 内有定义，若对于该邻域内异于 $P_{0}$ 的所有点 $(x, y)$ ，都有： 1．极大值： $f(x, y)<f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 则称 $f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为函数的一个极大值，点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 称为极大值点。 2．极小值： $f(x, y)>f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 则称 $f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为函数的一个极小值，点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 称为极小值点。
什么是驻点？
- 驻点：一阶偏导数都为 0 的点（ $fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0$ ）。像是三维的“拐点”。
- 驻点和极值点的关系
  - 极值点不一定是驻点（偏导数不存在的点也可能是极值点，如 $z=x2+y2$ （圆锥面）在原点处）。
  - 驻点也不一定是极值点（如 $z=xy$ （马鞍面）在原点处是驻点，但不是极值点）。
  - 具有偏导数的极值点必是驻点
    - 如果一个点是函数的极值点，并且在这个点上函数的两个一阶偏导数都存在，那么这两个偏导数的值一定都是 0，也就是它必然是驻点。
多元函数无条件极值的充分条件
- 前提：设二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域内有二阶连续偏导数，且 $P_0$ 是它的驻点，即： $f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0$
- 令 $A=f_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right), \quad B=f_{x y}\left(x_{0}, y_{0}\right), \quad C=f_{y y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，定义 $\Delta=A C-B^{2}$ 。
- 则： | 判别式 $Δ=AC−B2$ | A 的符号 | 结论 | | --------------- | -------- | ------------------------------------------ | | Δ>0 | A>0 | f(x0,y0) 是极小值 | | Δ>0 | A<0 | f(x0,y0) 是极大值 | | Δ<0 | 任意 | f(x0,y0) 不是极值（鞍点） | | Δ=0 | 任意 | 无法判定，需用更高阶方法或定义直接判断 |
- 判断极值点步骤：
  - 先求双偏导为0判别驻点
  - 再求三个二阶偏导判别极值点
求多元函数的条件极值
- 拉格朗日乘数法求： $z=f(x,y)$ $z = f (x, y)$ 在约束条件 $φ(x,y)=0$ $φ (x, y) = 0$ 下的条件极值。（数乘的意思就是用辅助数乘上约束条件加到原函数上）
  - 1. 构造拉格朗日函数 $L(x, y, \lambda)=f(x, y)+\lambda \varphi(x, y)$
  - 1. 全部一阶导都是0 $\left\{\begin{array}{l}L_{x}=f_{x}+\lambda \varphi_{x}=0 \\L_{y}=f_{y}+\lambda \varphi_{y}=0 \\L_{\lambda}=\varphi(x, y)=0 \end{array}\right.$
  - 1. 解方程组找出可疑点（技巧：前两式消去 $λ$ ，找 $x,y$ 关系，再代入约束方程 $L_{\lambda}=\varphi(x, y)=0$ ）
  - (可能：判断极值点是极大值还是极小值)
- 或者将条件极值转化成非条件极值，也就是能带入消元的时候，把问题转化成一元函数的极值。
  - 例题

多元函数的极值

1. 定义

粗略理解：一个点如果比它周围所有的点都大（或都小），它就是极值点。
严格定义（以二元函数为例）：设 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域 $U(P_0)$ 内有定义。若对该邻域内异于 $P_0$ 的所有点 $(x,y)$ ，恒有
- 极大值： $f(x,y) < f(x_0,y_0)$ ，则称 $f(x_0,y_0)$ 为极大值， $P_0$ 为极大值点；
- 极小值： $f(x,y) > f(x_0,y_0)$ ，则称 $f(x_0,y_0)$ 为极小值， $P_0$ 为极小值点。

2. 驻点

定义：所有一阶偏导数都为零的点，即
$f_x(x_0,y_0)=0,\qquad f_y(x_0,y_0)=0$

驻点与极值点的关系

关系	说明与反例
极值点不一定是驻点	偏导数不存在的点也可能是极值点（如 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 在原点处极小，但偏导不存在）
驻点不一定是极值点	如 $z=xy$ 在原点处是驻点，却是鞍点（非极值）
可偏导的极值点必为驻点	若极值点处两个一阶偏导数均存在，则它们必同时为零

3. 无条件极值的充分条件（二元函数）

前提： $z=f(x,y)$ 在驻点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域内具有二阶连续偏导数，且

f_x(x_0,y_0)=0,\quad f_y(x_0,y_0)=0

记

A = f_{xx}(x_0,y_0),\quad B = f_{xy}(x_0,y_0),\quad C = f_{yy}(x_0,y_0)

定义判别式

\Delta = AC - B^{2}

$\Delta = AC-B^{2}$	$A$ 的符号	结论
$\Delta > 0$	$A > 0$	$f(x_0,y_0)$ 为极小值
$\Delta > 0$	$A < 0$	$f(x_0,y_0)$ 为极大值
$\Delta < 0$	任意	$f(x_0,y_0)$ 不是极值（鞍点）
$\Delta = 0$	任意	无法判定，需更高阶方法或定义

判定步骤：

解 $f_x=0,\ f_y=0$ 求出所有驻点；
对每个驻点计算 $A,B,C$ 和 $\Delta$ ，按上表判断。

4. 条件极值 —— 拉格朗日乘数法

用于求 $z=f(x,y)$ 在约束条件 $\varphi(x,y)=0$ 下的极值。

拉格朗日乘数法步骤

构造拉格朗日函数
$L(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda\,\varphi(x,y)$
求偏导并令其为零
$\begin{cases} L_x = f_x + \lambda \varphi_x = 0 \\ L_y = f_y + \lambda \varphi_y = 0 \\ L_\lambda = \varphi(x,y) = 0 \end{cases}$
解方程组（常用技巧：从前两式消去 $\lambda$ ，得到 $x$ 与 $y$ 的关系，再代入第三式求出具体坐标）。
根据需要判断所得点是极大值还是极小值（可结合原问题背景或二阶条件进一步判别）。

转化为无条件极值

若约束 $\varphi(x,y)=0$ 容易显化为 $y=g(x)$ （或 $x=h(y)$ ），可直接代入消元，将问题变为一元函数的无条件极值。

5. 小结

极值：局部范围内的最值。
驻点：偏导为零的点，是寻找极值点的候选点（但并非充分）。
无条件极值：借助二阶偏导构成的判别式 $\Delta = AC-B^2$ 判定。
条件极值：用拉格朗日乘数法（或消元法）将有约束问题转化为无约束问题。