三重积分的概念

将空间区域 $\Omega$ 分成 $n$ 个小块，每块体积 $\Delta V_i$，取点 $(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)$：

$$\iiint_\Omega f(x,y,z)\,dV = \lim_{\max\Delta V_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\,\Delta V_i$$

如果 $f(x,y,z) \equiv 1$，三重积分就是区域的体积：

$$V = \iiint_\Omega 1\,dV$$

积分的重新理解

不论是一维坐标还是二维坐标系还是三维空间坐标系。坐标系里面的点有自己的坐标和所对应的函数值。

积分就是把一些复合坐标条件的点的函数值，累加起来集中到某一些点上。

每积分一次。就会把坐标系降维一次。处于被降维空间上的点的信息（也就是函数值）会被累加到更低维度的点里。

一维坐标系，进行一次定积分就可以得到一个数。二维坐标系进行二重积分得到一个数。三维的坐标系，经过三重积分得到一个数。这一个数是最后的零维（最后的一个点）附带的信息。

降维到一个点的时候，这一个点所具有的信息就是整个积分区域函数值的累加，也就是积分的值。

三重积分的计算

投影法

投影法又称”穿针法”，是直角坐标系下计算三重积分最核心的方法。

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想象一根平行于 $z$ 轴的针，从区域 $\Omega$ 的”底面”穿进去，从”顶面”穿出来——这就确定了 $z$ 的上下限。

$$\iiint_\Omega f(x,y,z)\,dV = \iint_{D_{xy}} \left[ \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz \right] dx\,dy$$

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四步走：

第 1 步：将 $\Omega$ 投影到 $xOy$ 平面，得投影区域 $D_{xy}$

第 2 步：在 $D_{xy}$ 上任取一点 $(x,y)$，该点上方穿过 $\Omega$ — 先碰到的面就是下限 $z_1(x,y)$，后碰到的面就是上限 $z_2(x,y)$

第 3 步：先对 $z$ 积分，得到一个关于 $x,y$ 的函数

第 4 步：再在 $D_{xy}$ 上做二重积分

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上面讲的是投影到 $xOy$ 面（先积 $z$），但有时换个方向更简单：

原则：选能让积分限最简单的那一个方向。

截面法

拿一把平行于 $xOy$ 面的”刀”，从 $z$ 的最小值到最大值，一刀一刀地切 $\Omega$。每一刀的截面 $S_z$ 上先做二重积分，再沿着 $z$ 轴积起来。

$$\iiint_\Omega f(x,y,z)\,dV = \int_{z_{\min}}^{z_{\max}} \left[ \iint_{S_z} f(x,y,z)\,dx\,dy \right] dz$$

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四步走

第 1 步：确定 $z$ 的取值范围 $[z_{\min}, z_{\max}]$

第 2 步：固定某个 $z$，看清截面 $S_z$ 的形状和范围

第 3 步：在 $S_z$ 上对 $x,y$ 做二重积分

第 4 步：把结果对 $z$ 积分

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和投影法对比

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什么时候用截面法？

• $f(x,y,z)$ 只含 $z$：比如 $f = z^2$，内层二重积分直接变成 $f(z) \cdot \text{截面面积}$
• 截面是规则图形：圆、椭圆、矩形等，二重积分秒算
• 旋转体：截面是圆盘，面积 $= \pi r^2(z)$

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截面法不限于平行于 $xOy$ 面的切法：

选择原则：截面形状更容易描述的方向。

球面坐标三重积分

球坐标换元法

$$\iiint_\Omega f(x,y,z)\,dV=\iiint_\Omega f(\rho,\varphi,\theta) \cdot \boxed{\rho^2\sin\varphi} \, d\rho \, d\varphi \, d\theta$$

忘了乘 $\rho^2\sin\varphi$ 直接白算一整题。

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球面坐标用三个量定位空间中的点：

$$\begin{cases} x = \rho \sin\varphi \cos\theta \\ y = \rho \sin\varphi \sin\theta \\ z = \rho \cos\varphi \end{cases}$$

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解题步骤： 第 1 步：把被积函数和区域边界都换成 $\rho, \varphi, \theta$

第 2 步：确定三个变量的积分限（顺序：先 $\rho$、再 $\varphi$、最后 $\theta$）

第 3 步：别忘了体积元，化为三次积分计算

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什么时候用球坐标？

简单说：看到”球”和”锥”就要想到球坐标。

三重积分坐标系选择

看到 Ω 里有球？ ──Yes──→ 球坐标
看到 Ω 里有圆柱？──Yes──→ 柱坐标
看到 x²+y² 打包出现？──Yes──→ 柱坐标
看到 x²+y²+z² 打包出现？──Yes──→ 球坐标
区域是长方体/四面体？──Yes──→ 直角坐标 + 投影法/截面法