第一曲线积分

曲线 $L$ 上每点有密度 $f(x,y)$ ，把曲线切成 $n$ 小段，每段长 $\Delta s_i$ ：

\int_L f(x,y)\,ds = \lim_{\max\Delta s_i \to 0} \sum f(\xi_i,\eta_i)\,\Delta s_i

File-第一第二曲线积分-2620260529

参数方程 $x=x(t),\ y=y(t),\ t \in [\alpha,\beta]$ ：

\int_L f(x,y)\,ds = \int_\alpha^\beta f(x(t),y(t)) \cdot \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}\,dt

💡 $t$ 上限 $\beta$ 必须 ≥ $\alpha$ ，因为弧长没有负数。

第二曲线积分

向量场 $\vec{F} = (P(x,y), Q(x,y))$ ，沿有向曲线 $L$ ：

\int_L \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_L P\,dx + Q\,dy

其中 $d\vec{r} = (dx, dy)$ ，是曲线的方向微元。物理意义：力 $\vec{F}$ 沿路径 $L$ 做的功。

File-第一第二曲线积分-2620260529-1

参数方程 $x=x(t),\ y=y(t)$ ， $t$ 从 $\alpha$ 到 $\beta$ ：

\int_L P\,dx + Q\,dy = \int_\alpha^\beta \left[ P\cdot\frac{dx}{dt} + Q\cdot\frac{dy}{dt} \right] dt

⚠️ 这次 $\alpha$ 对应起点， $\beta$ 对应终点，方向必须匹配。反向 = 加负号。

若 $\vec{F}$ 沿 $L$ 的切向量方向为 $\vec{T}$ ，则：

\int_L Pdx + Qdy = \int_L \vec{F} \cdot \vec{T}\,ds = \int_L (P\cos\alpha + Q\cos\beta)\,ds

其中 $(\cos\alpha, \cos\beta)$ 是曲线切向量的方向余弦。第二型本质上就是第一型在切向上的投影。