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质点运动学

《质点运动学》 包括但不限于：

  • 位移的定义
    • 位矢的定义
    • 运动方程和轨迹方程怎么写
  • 路程的定义
    • 瞬时速率
    • 平均速率
  • 速度的定义
    • 瞬时速度
    • 平均速度
  • 速率的定义
    • 瞬时速率
    • 平均速率
  • 加速度的定义
    • 平均加速度
    • 瞬时加速度
  • 圆周运动的各个参数
    • 线量
      • 切向加速度
      • 法向加速度
      • 曲率半径
    • 角量
      • 角位移
      • 角速度
      • 角加速度
  • 圆周运动各个参数的互求
    • 线量之间
    • 角量之间
    • 角量和线量之间
  • 相对运动
    • 若只有平动
      • 位移、速度、加速度都满足“A实际（绝对）=A相对B+B实际（牵连）”

质点运动学

一、描述质点运动的四个基本概念

1. 位置矢量（位矢）与运动方程

  • 位矢：从坐标原点指向质点所在位置的有向线段。 r⃗(t)=x(t) i^+y(t) j^+z(t) k^\vec{r}(t)=x(t)\,\hat i+y(t)\,\hat j+z(t)\,\hat k
  • 运动方程：位矢随时间变化的函数式 r⃗(t)\vec{r}(t)，是运动学的核心。
  • 轨迹方程：从运动方程中消去时间 tt 后得到的方程 f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0，描述质点运动的几何路径。

2. 位移与路程

  • 位移（矢量） Δr⃗=r⃗(t+Δt)−r⃗(t)\Delta \vec{r}= \vec{r}(t+\Delta t)-\vec{r}(t) 只由初、末位置决定，与路径无关。
  • 路程（标量） 质点在 Δt\Delta t 内沿轨迹实际走过的长度 Δs\Delta s。 重要不等式： ∣Δr⃗∣≤Δs|\Delta \vec r|\le \Delta s 只有当质点沿直线不折返时取等号。

3. 速度与速率

物理量定义（矢量/标量）数学表达式
平均速度矢量v⃗avg=Δr⃗Δt\displaystyle\vec v_{\text{avg}}=\frac{\Delta\vec r}{\Delta t}
瞬时速度矢量v⃗=dr⃗dt\displaystyle\vec v=\frac{d\vec r}{dt}
平均速率标量vavg=ΔsΔt\displaystyle v_{\text{avg}}=\frac{\Delta s}{\Delta t}
瞬时速率标量v=v⃗=dsdt\displaystyle v=\vec v=\frac{ds}{dt}
  • 注意：平均速度的大小 不等于 平均速率（除非单向直线运动）；瞬时速度的大小等于瞬时速率。

4. 加速度

  • 平均加速度： a⃗avg=Δv⃗Δt\vec a_{\text{avg}}=\frac{\Delta\vec v}{\Delta t}
  • 瞬时加速度： a⃗=dv⃗dt=d2r⃗dt2\vec a=\frac{d\vec v}{dt}=\frac{d^2\vec r}{dt^2}
  • 在自然坐标系中，加速度总可以分解为：
    • 切向加速度 ata_t：改变速度大小
    • 法向加速度 ana_n：改变速度方向
    • 两者满足：a⃗=at e^t+an e^n\vec a = a_t\,\hat e_t + a_n\,\hat e_n，且 at=dvdt,an=v2ρa_t=\frac{dv}{dt},\qquad a_n=\frac{v^2}{\rho} 其中 ρ\rho 为轨迹在该点的 曲率半径（圆周运动时 ρ=R\rho=R）。

二、圆周运动 — 线量与角量的桥梁

1. 角量描述

角量符号定义说明
角位置（角位移）θ\theta从参考线转过的角度单位：rad
角速度ω\omegaω=dθdt\displaystyle\omega=\frac{d\theta}{dt}矢量方向由右手定则确定
角加速度α\alphaα=dωdt=d2θdt2\displaystyle\alpha=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d^2\theta}{dt^2}与角速度同（异）号为加速（减速）

2. 线量与角量的关系

基本关系（RR 为圆周半径）：

s=Rθ,v=Rω,at=Rαs=R\theta,\qquad v=R\omega,\qquad a_t=R\alpha

法向加速度用角量表示：

an=v2R=Rω2a_n=\frac{v^2}{R}=R\omega^2

3. 匀变速圆周运动公式

当 α\alpha 为常数时，角量公式与匀变速直线运动形式完全一致：

{ω=ω0+αtθ=θ0+ω0t+12αt2ω2−ω02=2α(θ−θ0)\begin{cases} \omega = \omega_0 + \alpha t \\[4pt] \theta = \theta_0 + \omega_0 t + \dfrac12\alpha t^2 \\[4pt] \omega^2 - \omega_0^2 = 2\alpha(\theta-\theta_0) \end{cases}

4. 线量之间的互求

  • 切向加速度：at=dvdta_t = \dfrac{dv}{dt} 若已知 v(t)v(t) 可直接求导；若已知 a(t)a(t) 则积分得 v(t)v(t)。
  • 法向加速度：an=v2ρa_n = \dfrac{v^2}{\rho} 对于圆周运动 ρ=R\rho=R，对于一般曲线需先计算曲率半径。
  • 全加速度大小：a=at2+an2a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2}

5. 角量之间的互求

  • 由 θ(t)\theta(t) 求导得 ω(t)\omega(t)，再求导得 α(t)\alpha(t)。
  • 由 α(t)\alpha(t) 积分得 ω(t)\omega(t)，再积分得 θ(t)\theta(t)。 对于匀变速情况可直接套用上述公式。

6. 线量与角量的换算

  • 已知角量求线量： v=Rωv = R\omega，at=Rαa_t = R\alpha，an=Rω2a_n = R\omega^2
  • 已知线量求角量： ω=v/R\omega = v/R，α=at/R\alpha = a_t/R，ω=an/R\omega = \sqrt{a_n/R}

三、一般曲线运动 — 曲率半径

对于非圆周的平面曲线，轨迹上某点的曲率半径 ρ\rho 定义为：

ρ=∣(1+y′ 2)3/2y′′∣\rho = \left|\frac{(1+y'^{\,2})^{3/2}}{y''}\right|

其中 y=f(x)y=f(x) 为轨迹方程。在实际计算中，常结合速度与加速度分量：

an=v2ρ⟹ρ=v2ana_n = \frac{v^2}{\rho}\quad\Longrightarrow\quad \rho = \frac{v^2}{a_n}

而 ana_n 可通过 an=a2−at2a_n = \sqrt{a^2 - a_t^2}（已知全加速度和切向加速度）或直接由运动参数求出。

四、相对运动（仅平动参考系）

设 S′S' 系相对 SS 系作 平动（无转动），牵连速度、牵连加速度分别为 u⃗\vec u、a⃗0\vec a_0。 质点 PP 在 SS 系中的物理量（绝对量）与 S′S' 系中的物理量（相对量）满足：

  • 位移：r⃗P=r⃗P′+r⃗O′\displaystyle \vec r_P = \vec r_{P'} + \vec r_{O'} （其中 r⃗O′\vec r_{O'} 为 S′S' 原点在 SS 系中的位矢）
  • 速度（伽利略速度变换）： v⃗绝=v⃗相+u⃗\vec v_{\text{绝}} = \vec v_{\text{相}} + \vec u
  • 加速度： a⃗绝=a⃗相+a⃗0\vec a_{\text{绝}} = \vec a_{\text{相}} + \vec a_0

记忆口诀：绝 = 相 + 牵（位移、速度、加速度均满足矢量叠加）。

若 S′S' 系相对 SS 系匀速直线运动（a⃗0=0\vec a_0=0），则两个参考系中质点的加速度相同：

a⃗绝=a⃗相\vec a_{\text{绝}} = \vec a_{\text{相}}

五、常见易错点与技巧

  1. 位移大小 vs 路程：除非单向直线，否则 ∣Δr⃗∣<Δs|\Delta\vec r|<\Delta s。
  2. 平均速度大小 vs 平均速率：前者 ∣Δr⃗Δt∣\displaystyle\left|\frac{\Delta\vec r}{\Delta t}\right|，后者 ΔsΔt\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}，两者一般不相等。
  3. 切向加速度反映速率变化，法向加速度反映方向变化——只要速度方向改变（如匀速率圆周运动），法向加速度就不为零。
  4. 相对运动公式只适用于平动参考系，若涉及转动则需引入科里奥利加速度，超出本章范围。
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