《刚体力学》 包括但不限于：

• 刚体的定义
  • 不能变形的物体称为刚体，是一种理想模型
  • 刚体的运动形式可分解为平动和转动，转动可用θ，W，α描述
• 转动惯量
  • 转动惯量的定义
    • 刚体绕定轴转动时惯性的量度，由质量对轴的分布决定
    • 转动惯量等于各质点质量乘以距离的平方再求和
    • 质量分布离轴越远，转动惯量越大。空心物体比实心物体转动惯量大。
    • 
  • 平行轴定理
• 转动定律
  • 力矩：对于定轴转动，力矩等于力垂直于轴的分量，乘以它到轴的距离
  • 转动定律：角加速度与合外力矩成正比，与转动惯量成反比
• 刚体的角动量守恒
  • 刚体定轴转动的角动量
  • 刚体定轴转动的角动量定理：外力矩对时间的积累等于角动量的变化
  • 角动量守恒定律：若外力矩为零，则角动量不变
    • 若刚体绕光滑轴旋转，无其他外力，则角动量守恒
• 刚体的动能定理
  • 力矩做功
  • 刚体的动能：若刚体只能绕定轴转动，则刚体的转动动能
  • 刚体的动能定理
  • 刚体的重力势能
  • 机械能守恒定律：若只有保守内力做功，则系统的机械能守恒
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刚体力学

一、刚体的定义

刚体是受力后形状和大小都不发生变化的理想模型。刚体内任意两点的距离始终保持不变。

刚体的一般运动可以分解为：

• 平动：刚体上任意两点的连线在运动中始终平行。描述方法同质点运动。
• 定轴转动：刚体上（或刚体外）存在一条固定的直线（转轴），刚体绕该轴转动。转动用角量描述：
  • 角位置：$\theta$（单位：rad）
  • 角速度：$\displaystyle\omega = \frac{d\theta}{dt}$（单位：rad/s）
  • 角加速度：$\displaystyle\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2}$（单位：rad/s²）

对于定轴转动，上述角量是代数量，正负表示方向。

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二、转动惯量

1. 定义

转动惯量是刚体绕轴转动时惯性的量度，由质量对轴的空间分布决定。刚体对某轴的转动惯量定义为：

离散体系：

$$I = \sum_i \Delta m_i \, r_i^2$$

连续刚体：

$$I = \int r^2 \, dm$$

其中 $r$ 为质元到转轴的垂直距离，$\Delta m_i$ 或 $dm$ 为各质元的质量。

• 质量分布离轴越远，转动惯量越大。
• 空心物体通常比同质量、同半径的实心物体转动惯量大（如圆环 vs 圆盘）。

常见刚体的转动惯量（均对质心轴）：

2. 平行轴定理

设刚体对通过其质心 $C$ 的某轴的转动惯量为 $I_C$，则对与该轴平行且垂直距离为 $d$ 的任意轴的转动惯量为：

$$\boxed{I = I_C + m d^2}$$

• 两轴必须严格平行，且参考轴 $I_C$ 必须是过质心的转动惯量。
• 推论：在所有平行轴中，过质心的轴转动惯量最小。

定理本质：刚体的总转动惯量 = 绕质心自身转动的惯性（$I_C$） + 质心质量集中到目标轴的等效平动惯性（$m d^2$）。

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三、转动定律 — 刚体转动的“牛顿第二定律”

1. 力矩（对定轴）

力 $\vec F$ 对定点 $O$ 的力矩定义为：

$$\vec M = \vec r \times \vec F$$

对于定轴转动，通常只关心力矩沿转轴方向的分量：

• 将力分解为平行于轴的分量 $F_\parallel$ 和垂直于轴的分量 $F_\perp$。平行分量对轴的力矩为零。
• 力矩沿轴的分量大小：$M = r F_\perp \sin\theta = F_\perp d$，其中 $d = r\sin\theta$ 为力臂（力作用线到转轴的垂直距离）。
• 方向由右手螺旋定则确定：四指沿 $\vec r$ 方向弯曲至 $\vec F$ 方向，拇指指向即力矩方向（对定轴取 $\pm$）。

合力矩等于各分力矩的代数和（对定轴）。刚体内力（作用力与反作用力）的力矩互相抵消。

2. 转动定律

刚体绕定轴转动时，角加速度 $\alpha$ 与合外力矩 $M$ 成正比，与转动惯量 $I$ 成反比：

$$\boxed{M = I \alpha}$$

即

$$M = I \frac{d\omega}{dt} = I \frac{d^2\theta}{dt^2}$$

这是解决刚体定轴转动动力学的基本方程，与本课程中的 $\vec F = m\vec a$ 地位相同。

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四、角动量定理与角动量守恒

1. 刚体定轴转动的角动量

刚体对转轴的角动量（沿轴分量）为：

$$L = I \omega$$

矢量形式（对定点）：$\vec L = I \vec \omega$（注意：对非对称刚体 $\vec L$ 可能不与 $\vec \omega$ 共线，但本节限于定轴且对称分布的情形，可视为同向）。

2. 角动量定理

对单个刚体（或质点系）：合外力矩对时间的累积等于角动量的变化量。

微分形式（转动定律的另一表达式）：

$$M = \frac{dL}{dt} = \frac{d(I\omega)}{dt}$$

积分形式：

$$\int_{t_1}^{t_2} M\, dt = \Delta L = L_2 - L_1$$

若转动惯量 $I$ 恒定，则 $\displaystyle\int M\,dt = I\Delta\omega$。

与平动类比：$F = \dfrac{dp}{dt}$，冲量等于动量变化。

3. 角动量守恒定律

当系统所受的合外力矩为零时：

$$\sum M^{\text{ext}} = 0 \quad \Longrightarrow \quad L = I\omega = \text{常量}$$

即角动量保持不变。

常见守恒情形：

• 刚体绕光滑轴旋转，轴上无摩擦，又无其他外力作用 → 角动量守恒。
• 若合外力为零，则对任意定点的力矩当然为零 → 角动量守恒。
• 外力始终过定点（有心力），对该定点力矩为零 → 相对于该定点角动量守恒。 例：行星绕太阳运动，引力过太阳，行星对太阳的角动量守恒（开普勒第二定律）。

转动惯量变化时的表现（如冰上芭蕾、跳水运动员）：

当 $I$ 变化时，$L$ 不变导致 $\omega$ 反向变化：若 $I$ 减小，$\omega$ 增大，反之亦然。

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五、刚体的动能定理与机械能守恒

1. 力矩做功

刚体在力矩作用下绕定轴转过微小角位移 $d\theta$ 时，力矩做的元功为：

$$dW = M\, d\theta$$

力矩对刚体所做的总功（从 $\theta_1$ 到 $\theta_2$）：

$$W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} M\, d\theta$$

若 $M$ 为恒力矩，则 $W = M \Delta\theta$。

2. 刚体的转动动能

刚体绕定轴转动时的动能为：

$$E_k = \frac12 I \omega^2$$

推导：$E_k = \sum \frac12 \Delta m_i v_i^2 = \frac12 \left(\sum \Delta m_i r_i^2\right) \omega^2 = \frac12 I \omega^2$。

若刚体同时做平动与转动，总动能为：

$$E_k = \frac12 m v_C^2 + \frac12 I_C \omega^2$$

其中 $v_C$ 是质心速度，$I_C$ 是绕质心轴的转动惯量（柯尼希定理）。

3. 刚体的动能定理

力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量：

$$W = \Delta E_k = \frac12 I \omega_2^2 - \frac12 I \omega_1^2$$

更一般地（包含外力、内力做功）：

$$W_{\text{ext}} + W_{\text{int}} = \Delta E_k$$

4. 刚体的重力势能

刚体的重力势能可由其质心的位置 $h_C$ 计算：

$$E_p = m g h_C$$

此结论与把刚体质量全部集中在质心所得结果相同。重力势能的变化只取决于质心高度的变化。

5. 刚体系统的机械能守恒定律

若系统在运动过程中，只有保守内力做功（外力不做功，非保守内力不做功），则系统的机械能守恒：

$$E_{\text{mech}} = E_k + E_p = \text{常量}$$

对于包含刚体的系统，机械能可能包括：

• 刚体的平动动能 $\frac12 m v_C^2$
• 刚体的转动动能 $\frac12 I_C \omega^2$
• 重力势能 $m g h_C$
• 弹性势能等

机械能守恒条件是：外力不做功，且系统内非保守力（摩擦力、爆炸力等）不做功。这与质点动力学中的条件完全一致。

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六、核心公式对比：平动与转动的对称性