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相对论

  • 伽利略变换
  • 狭义相对论
  • 时间延缓和长度收缩
  • 相对论中的质点运动学

相对论

一、经典时空观与伽利略变换

1. 经典时空观（绝对时空观）

在牛顿力学中，时间和空间被认为是绝对的：

  • 绝对时间：时间的流逝与物体的运动状态无关，全宇宙有统一的时钟。
  • 绝对空间：空间距离与观测者无关，是永恒不变的。

2. 伽利略变换

设有两个惯性参考系 SS（静止）和 S′S'（以恒定速度 uu 沿 +x+x 轴方向相对 SS 平动），且 t=t′=0t = t' = 0 时两原点重合。

伽利略坐标变换式：

{x′=x−uty′=yz′=zt′=t\begin{cases} x' = x - ut \\ y' = y \\ z' = z \\ t' = t \end{cases}

逆变换：

{x=x′+uty=y′z=z′t=t′\begin{cases} x = x' + ut \\ y = y' \\ z = z' \\ t = t' \end{cases}

3. 伽利略速度与加速度变换

速度变换：

v⃗′=v⃗−u⃗\vec v' = \vec v - \vec u

分量形式：vx′=vx−uv_x' = v_x - u，vy′=vyv_y' = v_y，vz′=vzv_z' = v_z。

加速度变换（因 u⃗\vec u 恒定）：

a⃗′=a⃗\vec a' = \vec a

结论：牛顿运动定律 F⃗=ma⃗\vec F = m\vec a 在所有惯性系中形式相同，满足力学相对性原理（伽利略相对性原理）。

4. 伽利略变换的局限

麦克斯韦电磁场方程组在伽利略变换下不保持形式不变；电磁波（光）在真空中的速度 cc 按伽利略变换应在不同惯性系中不同，这与实验（如迈克尔逊-莫雷实验）矛盾。

二、狭义相对论基本原理

1905 年，爱因斯坦提出狭义相对论，建立在两条基本假设之上：

1. 相对性原理

物理定律在一切惯性参考系中具有相同的数学形式。所有惯性系都是等价的，不存在特殊的惯性系。

2. 光速不变原理

真空中的光速 cc 在任何惯性系中均恒定，与光源和观测者的相对运动无关。

c≈3.00×108 m/sc \approx 3.00 \times 10^8 \ \mathrm{m/s}

这两条原理直接否定了绝对时空观，引出了洛伦兹变换。

三、洛伦兹变换

设 S′S' 系相对 SS 系以恒定速度 uu 沿 +x+x 轴方向运动，t=t′=0t = t' = 0 时两原点重合。

1. 洛伦兹坐标变换

从 SS 系到 S′S' 系（正变换）：

{x′=γ(x−ut)y′=yz′=zt′=γ(t−uc2x)\begin{cases} x' = \gamma (x - ut) \\[4pt] y' = y \\[4pt] z' = z \\[4pt] t' = \gamma \left(t - \dfrac{u}{c^2}x\right) \end{cases}

从 S′S' 系到 SS 系（逆变换）：

{x=γ(x′+ut′)y=y′z=z′t=γ(t′+uc2x′)\begin{cases} x = \gamma (x' + ut') \\[4pt] y = y' \\[4pt] z = z' \\[4pt] t = \gamma \left(t' + \dfrac{u}{c^2}x'\right) \end{cases}

其中 洛伦兹因子 γ\gamma：

γ=11−u2c2≥1\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{u^2}{c^2}}} \geq 1
  • u≪cu \ll c 时，γ≈1\gamma \approx 1，洛伦兹变换退化为伽利略变换。
  • u→cu \to c 时，γ→∞\gamma \to \infty。

2. 洛伦兹速度变换

从 SS 系到 S′S' 系的速度变换式：

{vx′=vx−u1−uvxc2vy′=vyγ(1−uvxc2)vz′=vzγ(1−uvxc2)\begin{cases} v_x' = \dfrac{v_x - u}{1 - \dfrac{u v_x}{c^2}} \\[12pt] v_y' = \dfrac{v_y}{\gamma \left(1 - \dfrac{u v_x}{c^2}\right)} \\[12pt] v_z' = \dfrac{v_z}{\gamma \left(1 - \dfrac{u v_x}{c^2}\right)} \end{cases}

逆变换只需将 uu 换为 −u-u。

验证光速不变：设 SS 系中一光信号沿 +x+x 方向以速度 cc 传播，vx=cv_x = c，代入得当 vx′=cv_x' = c，即光速在任何惯性系中均为 cc。

四、时间延缓与长度收缩

1. 同时性的相对性

在 SS 系中不同地点 (x1≠x2)(x_1 \neq x_2) 同时发生 (Δt=0)(\Delta t = 0) 的两事件，在 S′S' 系中一般不再同时：

Δt′=γ(Δt−uc2Δx)=−γuc2Δx≠0\Delta t' = \gamma \left( \Delta t - \frac{u}{c^2}\Delta x \right) = -\gamma \frac{u}{c^2}\Delta x \neq 0

只有同地且同时的事件，在所有惯性系中才同时。

2. 时间延缓（钟慢效应）

在 S′S' 系中同一地点 (x′=const)(x' = \text{const}) 先后发生的两个事件的时间间隔称为固有时 Δt′=Δτ\Delta t' = \Delta \tau（或 Δt0\Delta t_0）。

在 SS 系中测得的时间间隔（坐标时）Δt\Delta t 为：

Δt=γΔτ=Δτ1−u2c2\Delta t = \gamma \Delta \tau = \frac{\Delta \tau}{\sqrt{1 - \dfrac{u^2}{c^2}}}
  • 固有时 Δτ\Delta \tau 是最短的时间间隔。
  • 运动时钟（S′S' 系中静止的钟从 SS 系看是运动的）变慢，即运动时钟走得慢。

3. 长度收缩（尺缩效应）

在相对待测物体静止的参考系中，测得的物体长度称为固有长度 L0L_0（或静长度）。

在相对物体以速度 uu 运动的参考系中，沿速度方向测得的长度 LL 为：

L=L0γ=L01−u2c2L = \frac{L_0}{\gamma} = L_0 \sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}
  • 固有长度 L0L_0 是最长的长度。
  • 长度收缩只发生在运动方向上，垂直于运动方向长度不变。
  • 长度收缩是观测效应（测量点必须同时确定），不是物体实际被压缩。

4. 两个效应的总结对比

效应谁最长/最短公式条件
时间延缓固有时 Δτ\Delta\tau 最短（运动钟变慢）Δt=γΔτ\Delta t = \gamma \Delta\tau两事件在彼系同地
长度收缩固有长度 L0L_0 最长（运动方向缩短）L=L0/γL = L_0 / \gamma同时测量物体两端坐标

五、相对论质点运动学

1. 相对论动量与质量

要保证动量守恒定律在所有惯性系中成立，动量必须重新定义为：

p⃗=mv⃗=m01−v2c2 v⃗\vec p = m \vec v = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}\, \vec v
  • m0m_0：静质量（物体在自身静止系中的质量）。
  • m=m01−v2/c2=γm0m = \dfrac{m_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma m_0：运动质量，速度越大，运动质量越大。
  • v=cv = c 时，m→∞m \to \infty，因此静质量不为零的物体不能达到光速。

2. 相对论能量

爱因斯坦质能关系：

E=mc2=m0c21−v2c2E = m c^2 = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}
  • 静能（v=0v = 0）：E0=m0c2E_0 = m_0 c^2
  • 动能：物体从静止加速到速度 vv 所需的功，定义为：
Ek=E−E0=mc2−m0c2=(γ−1)m0c2E_k = E - E_0 = m c^2 - m_0 c^2 = (\gamma - 1) m_0 c^2

当 v≪cv \ll c 时，利用二项式展开：

Ek≈12m0v2E_k \approx \frac12 m_0 v^2

退化为经典力学的动能表达式。

3. 能量-动量关系

由动量和能量的定义可导出：

E2=(pc)2+(m0c2)2E^2 = (pc)^2 + (m_0 c^2)^2
  • 对光子（静质量 m0=0m_0 = 0）：E=pcE = pc。
  • 对静质量不为零的粒子：动能公式 Ek=E−m0c2E_k = E - m_0 c^2 与经典 12m0v2\frac12 m_0 v^2 不同。

4. 相对论动力学方程（牛顿第二定律的推广）

F⃗=dp⃗dt=ddt(m0v⃗1−v2/c2)\vec F = \frac{d\vec p}{dt} = \frac{d}{dt}\left( \frac{m_0 \vec v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \right)
  • 相对论中，力与加速度一般不在同一方向（因 mm 随速度变化）。
  • 恒力作用下，粒子速度不断趋近 cc 但永不达到。

六、核心公式速查表

公式说明
x′=γ(x−ut)x' = \gamma (x - ut)洛伦兹坐标变换（正变换）
t′=γ(t−uc2x)t' = \gamma \left(t - \dfrac{u}{c^2}x\right)洛伦兹时间变换
γ=11−u2/c2\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - u^2/c^2}}洛伦兹因子
Δt=γΔτ\Delta t = \gamma \Delta \tau时间延缓（固有时最短）
L=L0/γL = L_0 / \gamma长度收缩（固有长度最长）
vx′=vx−u1−uvxc2v_x' = \dfrac{v_x - u}{1 - \dfrac{u v_x}{c^2}}洛伦兹速度变换
m=m01−v2/c2m = \dfrac{m_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}相对论质量
p⃗=mv⃗\vec p = m \vec v相对论动量
E=mc2E = m c^2质能关系
E0=m0c2E_0 = m_0 c^2静能
Ek=(γ−1)m0c2E_k = (\gamma - 1)m_0 c^2相对论动能
E2=(pc)2+(m0c2)2E^2 = (pc)^2 + (m_0 c^2)^2能量-动量关系

七、知识脉络

经典时空观
  └─ 伽利略变换（绝对时间、绝对空间）
          │
          ├─ 力学相对性原理满足
          ├─ 电磁学规律不满足
          └─ 光速问题（迈克尔逊-莫雷实验）
                │
                ▼
        狭义相对论（1905）
          ├─ 相对性原理：所有惯性系中物理定律形式相同
          └─ 光速不变原理：真空中光速恒定
                │
                ▼
        洛伦兹变换（u < c 时退化为伽利略变换）
                │
    ┌───────────┼───────────┐
    ▼           ▼           ▼
时间延缓    长度收缩    同时性相对性
(Δ t = γΔτ)  (L = L₀/γ)  (Δ t' 与 Δ x 有关)
                │
                ▼
       相对论运动学
     ├─ 洛伦兹速度变换
     ├─ 相对论动量：p = m₀v / √(1 − v²/c²)
     ├─ 质能关系：E = m c²
     ├─ 动能：E_k = (γ − 1)m₀c²
     └─ 能量-动量关系：E² = (pc)² + (m₀c²)²

备注：广义相对论（1915）进一步研究非惯性系和引力，核心是等效原理和引力为时空弯曲的几何表示，本笔记暂不涉及。

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